高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中三類重要而又常用的基本初等函數(shù)。小編整理了相關(guān)的內(nèi)容，歡迎欣賞與借鑒。
函數(shù)概念與表示
課標(biāo)要求：
1．通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；
2．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；
3．通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；
4．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
5．學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。
要點(diǎn)精講：
1．函數(shù)的概念：
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
�。�2）函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x.
2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
�。�1）解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：
�、僮匀恍停褐负瘮�(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；
�、谙拗菩停褐该}的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤；
�、蹖�(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。
（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。
�、倥浞椒ǎ▽⒑瘮�(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。
文章摘要：集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，它可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容；函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想貫穿了高中數(shù)學(xué)課程的始終，函數(shù)與代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容聯(lián)系非常密切；函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。教材要求：了解…
3．兩個(gè)函數(shù)的相等：
函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。
4．區(qū)間
5．映射的概念
一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”.
函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的`對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。
注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥?/p>
（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。
6．常用的函數(shù)表示法
�。�1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；
（2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；
（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
7．分段函數(shù)
若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；
8．復(fù)合函數(shù)
若y=f(u)，u=g(x)，x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。
附注：1．求函數(shù)解析式的題型有：
�。�1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：換元法、配湊法；
�。�3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；
（4）f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；
（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。
2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：
�。�1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；
�。�2）實(shí)際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；
�。�3）已知f(x)的定義域求f[g(x)]的定義域或已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域：
①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；
�、谌粢阎猣(x)的定義域[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由a≤g(x) ≤b解出。
3．求函數(shù)值域的各種方法
函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域。
①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求
一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；
反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，值域?yàn)閧y|y≠0}；
二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定義域?yàn)镽，
當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧}；
當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閧}。
�、谂浞椒ǎ恨D(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：f(x)=ax2+bx+c,x∈(a,b)的形式；
�、鄯质睫D(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
�、邌握{(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
�、鄶�(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。
文章摘要：集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，它可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容；函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想貫穿了高中數(shù)學(xué)課程的始終，函數(shù)與代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容聯(lián)系非常密切；函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。教材要求：了解…
函數(shù)的基本性質(zhì)
課標(biāo)要求：
1．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；
2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
要點(diǎn)精講：
1． 函數(shù)的單調(diào)性
注意：（1）利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 變形（通常是因式分解和配方）；
4 定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；
5 下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。
（2）在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．
2．最值
�。�1）定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?strong>I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?strong>I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
注意：1）函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2）函數(shù)最大（�。⿷�(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）
�。�2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲档姆椒ǎ�
1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；
2）利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；
3）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
�。�3）函數(shù)的圖象與性質(zhì)
f(x)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)。
2． 奇偶性
注意：（1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。
�。�2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：
1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；
2）確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；
3）作出相應(yīng)結(jié)論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。
（3）簡單性質(zhì)：
�、賵D象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；
�、谠O(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域D上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
4．周期性
（1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；
�。�2）性質(zhì)：①f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為.
附注：1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：；2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立，函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；
3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；
4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。
5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。（參考教材：人教版必修1A版）
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