合情估計(jì)法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用論文
合情估計(jì)法（PEM）就是通過觀察分析，對(duì)問題給以定性或粗略估計(jì)的一種方法（口語相當(dāng)于毛估估法），教學(xué)實(shí)踐中屬于啟發(fā)式教學(xué)法，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。一般通過觀察分析（審題），根據(jù)經(jīng)驗(yàn)（已學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)等）或特例或抽象性質(zhì)具體化等，對(duì)問題給出合情（毛估估）解決的方法。合情估計(jì)法也借助觀察法，觀察分為直接觀察和間接觀察，題前觀察（審題）、題中觀察以及題后觀察（類似驗(yàn)證）或相互結(jié)合綜合分析應(yīng)用。從推理角度分析，合情估計(jì)法屬于合情推理方法，不能取代嚴(yán)密的推導(dǎo)，只是給出解決問題的啟示，問題的解決必須采用演繹等嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理方法（即論證推理）；但是合情估計(jì)法抓住了事物的本質(zhì)、問題的核心，有其解決問題的內(nèi)在邏輯（合情）。本文主要通過一些案例，初步探索合情估計(jì)法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
印象比較深的是，大學(xué)高等數(shù)學(xué)期中測(cè)驗(yàn)的一道題，需要利用微分的近似計(jì)算給出 的近似值。有同學(xué)給出近似值為0.98，接近1，相差較大。如果事先根據(jù)合情估計(jì)法，大致確定 接近 ，其真值在0.5左右，甚至進(jìn)一步根據(jù)單調(diào)性應(yīng)該小于0.5，那么就知道演算過程肯定出錯(cuò)了。再如，如果計(jì)算得出一個(gè)人的步行速度為100公里/小時(shí)，那就不符合常理了（除非是超人），可能計(jì)算方法或過程有誤。因此，在我們的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有必要系統(tǒng)引入合情估計(jì)法，一方面可以提高學(xué)生的認(rèn)知能力，降低有些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)難度（特別是數(shù)學(xué)分析等學(xué)習(xí)曲線較陡的課程）；同時(shí)也能啟發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)與學(xué)生的互動(dòng)，達(dá)到活躍課堂氣氛，提升課堂教學(xué)效果。
一、客觀題直接采用合情估計(jì)法
�。ㄒ唬┰O(shè) ，則 .
答案為 ，該題的要點(diǎn)是要利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限（合理）。如果考慮到兩點(diǎn)間函數(shù)的變化率問題，終點(diǎn)減起點(diǎn)，很容易（合情）得出答案。在學(xué)過洛必達(dá)法則求極限后，根據(jù)合情估計(jì)法，假設(shè)該函數(shù)滿足洛必達(dá)法則的條件，于是利用該法則立刻得出答案。
該解法不嚴(yán)謹(jǐn)（洛必達(dá)法則只是充分條件），如果如上采用倒向洛必達(dá)法則，那也只能屬于合情估計(jì)法范疇。
（二）設(shè) 二階連續(xù)可導(dǎo)，且 ，則 .
�。ˋ） 是極小值 （B） 是極大值
�。–） 是拐點(diǎn) （D） 不是極值， 也不是拐點(diǎn)
該題應(yīng)選擇（C）。分析：最簡(jiǎn)單的合情估計(jì)法見前述，這里我們?cè)倏紤]采用倒向洛必達(dá)法則（屬合情估計(jì)法）。事實(shí)上，由題意立刻得到： 為函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，且由保號(hào)性定理得到在 的鄰域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增無極值；再由倒向洛必達(dá)法則得到 ，因此 是函數(shù)的一個(gè)拐點(diǎn)。該題正確解法（合理）如下：由洛必達(dá)法則得到 ，于是
2 、設(shè) 二階連續(xù)可導(dǎo)，且 ，則 .
�。ˋ） 是極小值 （B） 是極大值
�。–） 是拐點(diǎn) （D） 不是極值， 也不是拐點(diǎn)
二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法
我們先給出正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法的比較基準(zhǔn)（Benchmark）級(jí)數(shù)（或稱參照物）之一， -級(jí)數(shù)的斂散性。
�。ㄒ唬┡袆e級(jí)數(shù) 的斂散性.
分析：考慮到 ，因此采用合情估計(jì)法，該級(jí)數(shù)應(yīng)與 在1到2之間的 -級(jí)數(shù)同態(tài)（同斂散），因此簡(jiǎn)單起見，取參照基準(zhǔn)級(jí)數(shù)為 =3/2的 -級(jí)數(shù)比較，結(jié)果原級(jí)數(shù)收斂。
�。ǘ┰O(shè)非負(fù)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且 ，試證明：級(jí)數(shù) 收斂.
�。ㄖ链�，采用合情估計(jì)法分析： ，于是我們通過合情估計(jì)法找到了參照基準(zhǔn)級(jí)數(shù)為 ）
因?yàn)?，
所以兩級(jí)數(shù)同態(tài)，或者（相對(duì)基準(zhǔn)級(jí)數(shù)）原級(jí)數(shù)低態(tài)，因此級(jí)數(shù) 收斂.
三、廣義積分的.比較判別法
�。ㄒ唬╄Ψe分 與基準(zhǔn)積分的 -積分 同態(tài)，嚴(yán)格的推導(dǎo)采用比較判別法。
�。ǘ┯�(jì)算I= .
解：I= + = -
�。ǚ治觯喝绻鲜鲨Ψe分收斂，則I=0.一般地，判別瑕積分 的斂散性時(shí)，如果 不能利用合情估計(jì)直接法直接得到 ，那么可通過合情估計(jì)間接法來定 。但是該法往往比較復(fù)雜，因?yàn)榛鶞?zhǔn)積分 -積分的定 法，需采用比較判別法通過洛必達(dá)法則，事后來定 以及考慮三態(tài)等。特別地，如果假設(shè)需判別的積分收斂，最簡(jiǎn)單的方法可事先選取 =1/2；如果假定發(fā)散，最簡(jiǎn)單的方法可選取 為1或3/2或2。本題依據(jù)合情估計(jì)法直接得到，應(yīng)選取 為1/2。）
考慮 ，得到 （更）收斂（低態(tài)），
因此，I=0.
合情估計(jì)法，作為啟發(fā)式教學(xué)法，學(xué)生比較容易理解容易接受。我們知道，數(shù)學(xué)名詞分為專業(yè)術(shù)語（formal）和口語（informal），如收斂、發(fā)散以及可導(dǎo)等就是專業(yè)術(shù)語，而有無極限、極限存在與否甚至廣義存在與否以及有無導(dǎo)數(shù)等都是口語化的數(shù)學(xué)術(shù)語。作為專業(yè)術(shù)語的“合情估計(jì)法”，在教學(xué)實(shí)踐中，可采用口語化的數(shù)學(xué)術(shù)語“毛估估法”（“姓毛名估估”）代替；對(duì)學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，特別是作為通識(shí)基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大一學(xué)生而言，相對(duì)容易理解和接受。近幾年，我們也把合情估計(jì)法（毛估估法）具體運(yùn)用到了教學(xué)實(shí)踐中，效果相當(dāng)不錯(cuò)。
“最重要的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)”。通過前述一些案例，我們初步探索了合情估計(jì)法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，還有許多類似的教學(xué)案例，需要我們不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)以及豐富提煉。同時(shí)建議在我們的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，系統(tǒng)引入合情估計(jì)法（毛估估法），一方面可以提高學(xué)生的認(rèn)知能力，降低有些知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)難度（特別是數(shù)學(xué)分析等學(xué)習(xí)曲線較陡的課程）；另一方面，也能進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)與學(xué)生的互動(dòng)，活躍課堂氛圍，提升課堂教學(xué)效果，而且豐富我們的教學(xué)內(nèi)容，拓展我們的教學(xué)方法論，從而能夠不斷提高我們的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。
參考文獻(xiàn)：
[1] 徐利治 朱梧槚 鄭毓信編著.數(shù)學(xué)方法論教程[M].江蘇教育出版社，1992年7月.
[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001年6月.
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