高中數(shù)學函數(shù)的表示方法練習題及答案
數(shù)學必修1(蘇教版)
2．1 函數(shù)的概念和圖象
2．1.2 函數(shù)的表示方法
要表示一種函數(shù)關系，可以有很多的方式，最直截了當?shù)木褪且灰涣谐鲎兞恐g的所對應的數(shù)值．這種表示方法的好處就是一目了然，但不能容易地讓人理解變量之間的對應規(guī)律．
要想能容易地讓人理解變量之間的對應規(guī)律，可以使用圖示的方式．用圖來表示變量之間的依賴關系，可以很直觀地說明這種依賴關系的很多性質．圖示的缺點就是不能精確地給出數(shù)值，也不能精確地表達函數(shù)的性質．
最精確的表達方式是給出函數(shù)關系的解析表達式．有了解析表達式，就可以對已知數(shù)值進行確定的數(shù)學計算，從而得到未知量的精確數(shù)值．更進一步，通過對解析表達式的數(shù)學分析，可以得出函數(shù)性質的精確的表達．
這幾種方法各有千秋，這是本節(jié)要學習的內容。
基礎鞏固
1．如圖，在△AOB中，點A(2,1)，B(3,0)，點E在射線OB上自O開始移動．設OE＝x，過E作OB的垂線l，記△AOB在直線l左邊部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()
解析：當02時，S＝14x2，排除B、C；
當2＜x3時，S＝1231－12(x－3)2＝12(－x2＋6x－6)；當x＞3時，S＝1231＝32.
答案：D
2．某同學從家里趕往學校，一開始乘公共汽車勻速前進，在離學校還有少許路程時，改為步行勻速前進到校．下列圖形縱軸表示該同學與學校的距離s，橫軸表示該同學出發(fā)后的時間t，則比較符合該同學行進實際的是()
解析：依題意：s表示該同學與學校的距離，t表示該同學出發(fā)后的時間，當t＝0時，s最遠，排除A、B，由于汽車速度比步行快，因此前段迅速靠近學校，后段較慢．選D.
答案：D
3．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝1－x2x2(x0)，則f12＝()
A．1 B．3 C．15 D．30
解析：由g(x)＝12得：1－2x＝12x＝14，代入1－x2x2得：
�。�15.
答案：C
4．定義兩種運算：a b＝a2－b2，ab＝a－b2，則函數(shù)f(x)＝ 的解析式為()
A．f(x)＝4－x2x，x[－2,0)(0,2]
B．f(x)＝x2－4x，x(－，－2][2，＋)
C．f(x)＝－x2－4x，x(－，－2][2，＋)
D．f(x)＝－4－x2x，x[－2,0)(0,2]
解析：由題知2?x＝4－x2，
x2＝x－22，則f(x)＝4－x2x－22－2，
又4－x20，－22，
則f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，－22，且x0.
答案：D
5．已知函數(shù)f(n)＝n－3，n10，f[fn＋5]，n10(nN*)，則f(5)＝()
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：f(5)＝f[f(10)]＝f(7)＝f[f(12)]＝f(9)＝f[f(14)]＝f(11)＝11－3＝8.
答案：D
6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3x，x0，2，x0，則方程f(x)＝x的解的個數(shù)為________．
解析：x0時，x＝f(x)＝2；x0時，x2＋3x＝xx＝0或－2.
答案：3個
7．已知正方形的周長為x，它的外接圓半徑為y，則y關于x的解析式是________．
答案：y＝28x
8．若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24(a，b為常數(shù))，則5a－b＝________.
解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3，
f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
�。絘2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3.
又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
a2＝1，2ab＋4a＝10，b2＋4b＋3＝24a＝1，b＝3或a＝－1，b＝－7.
5a－b＝2.
答案：2
9．已知f1＋x1－x＝1－x21＋x2，求f(x)的解析式．
解析：令1＋x1－x＝t，則x＝t－1t＋1，
f(t)＝ ＝2tt2＋1，
f(x)＝2xx2＋1.
由于t＝1＋x1－x＝－1＋21－x－1，f(x)＝2xx2＋1(x－1)．
10．已知二次函數(shù)滿足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．
解析：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，
則f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.
∵f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，
9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.
比較兩端系數(shù)，得
9a＝9，6a＋3b＝－6，a＋b＋c＝5a＝1，b＝－4，c＝8.
f(x)＝x2－4x＋8.
11．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經過A(0,2)，B(1.0)，C(3,2)三點，求f(x)的解析式．
解析：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，把A，B，C三點坐標代入得c＝2，a＋b＋c＝0，9a＋3b＋c＝2a＝1，b＝－3，c＝2.
f(x)＝x2－3x＋2.
能力提升
12．某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一位代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一位代表，那么各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的'最大整數(shù))可以表示為()
A．y＝x10 B．y＝x＋310
C．y＝x＋410 D．y＝x＋510
解析：當x＝56時，y＝5，排除C，D；當x＝57時，y＝6，排除A.只有B正確．
答案：B
13．任取x1、x2[a，b]且x1x2，若fx1＋x22＞12[f(x1)＋f(x2)]，則f(x)在[a，b]上是凸函數(shù)，在以下圖象中，是上凸函數(shù)的圖象是()
解析：只需在圖形中任取自變量x1，x2，分別標出它們對應的函數(shù)值及x1＋x22對應的函數(shù)值，并觀察它們的大小關系即可．
答案：D
14．根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝Cx，xA，CA，xA，A，C為常數(shù)．已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么C和A的值分別是()
A．75,25 B．75.16
C．60,25 D．60,16
解析：由條件可知，xA時所用時間為常數(shù)，所以組裝第4件產品用時必須滿足第一段分段函數(shù)，即f(4)＝C4＝30C＝60，f(A)＝60A＝15A＝16.
答案：D
15．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
則f[g(1)]的值為________，滿足f[g(x)]g[f(x)]的x值是________
解析：f[g(1)]＝f(3)＝1，
當x＝1時，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不滿足；
當x＝2時，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，滿足；
當x＝3時，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝1，不滿足．
x＝2.
答案：1 2
16．設函數(shù)f(x)＝x＋12，x＜1，4－x－1，x1，則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為________．
解析：x＜1時，f(x)(x＋1)2x－2或xx－2或0x＜1；x1時，f(x)4－x－1x－1x110.
x－2或010.
答案：(－，－2][0,10]
17．定義運算a*b＝a，ab，b，a＞b，則對xR，函數(shù)f(x)＝x*(2－x)的解析式為f(x)＝________.
答案：x，x12－x，x＞1
18．某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關系用圖甲表示，該商品在30天內日銷售量Q(件)與時間t(天)之間的關系如下表所示：
t/天 5 15 20 30
Q/件 35 25 20 10
(1)根據(jù)提供的圖象(圖甲)，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關系式；
(2)在所給直角坐標系(圖乙)中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(t，Q)的對應點，并確定一個日銷售量Q與時間t的函數(shù)關系式；
(3)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天．(日銷售金額＝每件的銷售價格日銷售量)
解析：(1)根據(jù)圖象，每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關系式為：
P＝t＋20，0＜t＜25，tN，－t＋100，2530，tN.
(2)描出實數(shù)對(t，Q)的對應點．
從圖象發(fā)現(xiàn)：點(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一條直線上，為此假設它們共線于直線l：Q＝kt＋b.
由點(5,35)，(30,10)確定出l的解析式為Q＝－t＋40，通過檢驗可知，點(15,25)，(20,20)也在直線l上．
日銷售量Q與時間t的一個函數(shù)關系式為
Q＝－t＋40(0＜t30，tN)．
(3)設日銷售金額為y(元)，
則y＝－t2＋20t＋800，0＜t＜25，tN，t2－140t＋4000，2530，tN，
因此y＝－t－102＋900，0＜t＜25，tN，t－702－900，2530，tN.
若0＜t＜25(tN)，則當t＝10時，ymax＝900；
若2530(tN)，則當t＝25時，ymax＝1 125.
因此第25天時銷售金額最大．
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