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高中數(shù)學(xué)知識點整理：冪函數(shù)的性質(zhì)
一般地.形如y=x、α(α為有理數(shù))的函數(shù)，即以、底數(shù)為、自變量，冪為、因變量，、指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為、冪函數(shù)。下面是小編為您收集整理的冪函數(shù)的性質(zhì)，歡迎閱讀!
高中數(shù)學(xué)知識點整理：冪函數(shù)的性質(zhì)1
冪函數(shù)的、圖象一定會出現(xiàn)在、第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在、第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的、奇偶性;冪函數(shù)的.圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與、坐標(biāo)軸相交，則交點一定是、原點.
正值性質(zhì)
當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：
a、圖像都經(jīng)過點(1,1)(0,0);
b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是、增函數(shù);
c、在第一象限內(nèi)，α>1時，、導(dǎo)數(shù)值逐漸增大;α=1時，導(dǎo)數(shù)為、常數(shù);0<α<1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0;
負(fù)值性質(zhì)
當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：
a、圖像都通過點(1,1);
b、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是、減函數(shù);(內(nèi)容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此)
c、在、第一象限內(nèi)，有兩條漸近線(即坐標(biāo)軸)，、自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。
零值性質(zhì)
當(dāng)α=0時，冪函數(shù)y=x、a有下列性質(zhì)：
a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。
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對于α的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
α為約分?jǐn)?shù)
如果α=p/q，且p/q為、既約分?jǐn)?shù)(即p，q、互質(zhì))，q和p都是、整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數(shù)，函數(shù)的、定義域是R;如果q是、偶數(shù)，函數(shù)的`、定義域是[0,+∞)。
α為負(fù)整數(shù)
當(dāng)指數(shù)α是、負(fù)整數(shù)時，設(shè)α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
α小于0時，x不等于0;
α的分母為偶數(shù)時，x不小于0;
α的分母為奇數(shù)時，x取R。
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冪函數(shù)的'一般形式是y=x，其中，n可為任何實數(shù)，但中學(xué)階段僅研究n為有理數(shù)的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N，且m，k互質(zhì)。特別，當(dāng)k=1時為整數(shù)指數(shù)冪。
(1)當(dāng)m，k都為正奇數(shù)時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數(shù);
(2)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù);
(3)當(dāng)m為正奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(4)當(dāng)m為負(fù)奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(5)當(dāng)m為正偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數(shù);
(6)當(dāng)m為負(fù)偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數(shù)。、[1]
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由于x大于0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在各、象限的各自情況。可以看到：
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。
(2)、單調(diào)區(qū)間：
當(dāng)α為整數(shù)時，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
�、佼�(dāng)α為正奇數(shù)時，圖像在定義域為R內(nèi)單調(diào)遞增;
�、诋�(dāng)α為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
③當(dāng)α為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
�、墚�(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。
當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時，α的正負(fù)性和分母的`奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：
�、佼�(dāng)α>0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;
�、诋�(dāng)α>0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增;
�、郛�(dāng)α<0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減;
�、墚�(dāng)α<0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);
(3)當(dāng)α>1時，冪函數(shù)圖形下凹(豎拋);
當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋);
當(dāng)α<0時，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸。
(5)當(dāng)α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數(shù)無界限。
(7)α=2n(n為整數(shù)),該函數(shù)為偶函數(shù)、{x|x≠0}。
高中數(shù)學(xué)知識點整理：冪函數(shù)的性質(zhì)5
高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點：冪函數(shù)
定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數(shù);
排除了為0這種可能，即對于x<0 x="">0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的.不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。
在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。
(2)當(dāng)a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當(dāng)a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當(dāng)a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(0，0);a小于0，函數(shù)不過(0，0)點。
(6)顯然冪函數(shù)無界。
高中數(shù)學(xué)知識點整理：冪函數(shù)的性質(zhì)6
1 冪函數(shù)解析式的右端是個冪的形式。冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，可以為任何實數(shù)；與指數(shù)函數(shù)的形式正好相反。
2 冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較復(fù)雜，高考只要求掌握指數(shù)為1、2、3、-1、時冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。
3 了解其它冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，主要有：
�、佼�(dāng)自變量為正數(shù)時，冪函數(shù)的'圖像都在第一象限。指數(shù)為負(fù)數(shù)的冪函數(shù)都是過點(1，1)的減函數(shù)，以坐標(biāo)軸為漸近線，指數(shù)越小越靠近
x軸。指數(shù)為正數(shù)的冪函數(shù)都是過原點和(1，1)的增函數(shù)；在 x=1的右側(cè)指數(shù)越大越遠(yuǎn)離 x 軸。
�、趦绾瘮�(shù)的定義域可以根據(jù)冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關(guān)于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。
�、鄱x域關(guān)于原點對稱的冪函數(shù)一定具有奇偶性。當(dāng)指數(shù)是偶數(shù)或分子是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時是偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。
4 冪函數(shù)奇偶性的一般規(guī)律：
⑴指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)。
�、浦笖�(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)。
⑶指數(shù)是分母為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時，定義域 x>0或 x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數(shù)是分子為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)。
�、芍笖�(shù)是分子分母為奇數(shù)的分?jǐn)?shù)時，冪函數(shù)是奇數(shù)函數(shù)。
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