高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納
在平時的學(xué)習(xí)中，不管我們學(xué)什么，都需要掌握一些知識點，知識點就是“讓別人看完能理解”或者“通過練習(xí)我能掌握”的內(nèi)容。那么，都有哪些知識點呢？下面是小編為大家收集的高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納，希望能夠幫助到大家。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納 1
1.函數(shù)的定義
函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，學(xué)習(xí)函數(shù)需要首先掌握函數(shù)的各個知識點，然后運用函數(shù)的各種性質(zhì)來解決具體的問題。
設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A->B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x∈A
2.函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域分為自然定義域和實際定義域兩種，如果給定的函數(shù)的解析式（不注明定義域），其定義域應(yīng)指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍（稱為自然定義域），如果函數(shù)是有實際問題確定的，這時應(yīng)根據(jù)自變量的實際意義來確定，函數(shù)的值域是由全體函數(shù)值組成的集合。
3.求解析式
求函數(shù)的解析式一般有三種種情況：
�。�1）根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系式，這種情況需引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識找出函數(shù)關(guān)系式。
�。�2）有時體中給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可用待定系數(shù)法。
�。�3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題，往往可設(shè)h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進行換元來解。掌握求函數(shù)解析式的前提是，需要對各種函數(shù)的性質(zhì)了解且熟悉。
目前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了常數(shù)函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及由以上幾種函數(shù)加減乘除，或者復(fù)合的一些相對較復(fù)雜的函數(shù)，但是這種函數(shù)也是初等函數(shù)。
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(1)高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。
(2)一次函數(shù)：
�、偃魞蓚�變量,間的關(guān)系式可以表示成(為常數(shù)，不等于0)的形式，則稱是的一次函數(shù)。
�、诋�=0時，稱是的正比例函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
①把一個函數(shù)的自變量與對應(yīng)的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。
�、谡壤瘮�(shù)=的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。
�、墼谝淮魏瘮�(shù)中，當0，O，則經(jīng)2、3、4象限;當0，0時，則經(jīng)1、2、4象限;當0，0時，則經(jīng)1、3、4象限;當0，0時，則經(jīng)1、2、3象限。
�、墚�0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù)：
①一般式：，對稱軸是頂點是;
�、陧旤c式：，對稱軸是頂點是;
�、劢稽c式：，其中，是拋物線與x軸的交點
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一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù)）
2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
�。�1）列表；
�。�2）描點；
（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。
因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點）
2．性質(zhì)：
�。�1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x,y），都滿足等式：y=kx+b
�。�2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3．k,b與函數(shù)圖像所在象限：
當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；
當b=0時，直線通過原點
當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限
四、確定一次函數(shù)的表達式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。
�。�1）設(shè)一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b
�。�2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x,y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b，所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
�。�3）解這個二元一次方程，得到k,b的值。
�。�4）最后得到一次函數(shù)的表達式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S.g=S-ft
六、常用公式：
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根號下（x1-x2）與（y1-y2）的平方和）
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(1)配方法:若函數(shù)為一元二次函數(shù)，則可以用這種方法求值域，關(guān)鍵在于正確化成完全平方式。
(2)換元法：常用代數(shù)或三角代換法，把所給函數(shù)代換成值域容易確定的另一函數(shù)，從而得到原函數(shù)值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均為常數(shù)且ac不等于0)的函數(shù)常用此法求解。
(3)判別式法：若函數(shù)為分式結(jié)構(gòu)，且分母中含有未知數(shù)x，則常用此法。通常去掉分母轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再由判別式△0，確定y的范圍，即原函數(shù)的值域
(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函數(shù)的值域。用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件“一正，二定，三相等�！�
(5)反函數(shù)法：若原函數(shù)的值域不易直接求解，則可以考慮其反函數(shù)的定義域，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)定義域與值域互換的特點，確定原函數(shù)的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函數(shù)的值域，可采用反函數(shù)法，也可用分離常數(shù)法。
(6)單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后在根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)值域，常用到函數(shù)y=x+p/x(p0)的單調(diào)性：增區(qū)間為(-,-p)的左開右閉區(qū)間和(p,+)的左閉右開區(qū)間，減區(qū)間為(-p,0)和(0,p)
(7)數(shù)形結(jié)合法：分析函數(shù)解析式表達的集合意義，根據(jù)其圖像特點確定值域。
注意：
(1)用換元法求值域時，認真分析換元后變量的范圍變化；用判別式法求函數(shù)值域時，一定要注意自變量x是否屬于R。
(2)用不等式法求函數(shù)值域時，需要認真分析其等號能否成立；利用單調(diào)性求函數(shù)值域時，準確找出其單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵。分段函數(shù)的值域應(yīng)分段分析，再取并集。
(3)不管用哪種方法求函數(shù)值域，都一定要先確定其定義域，這是求函數(shù)的重要環(huán)節(jié)。
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一、定義域
(高中函數(shù)定義)設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域。
二、值域
名稱定義
函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合
常用的求值域的方法：
(1)化歸法;
(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，
(3)函數(shù)單調(diào)性法，
(4)配方法，
(5)換元法，
(6)反函數(shù)法(逆求法)，
(7)判別式法，
(8)復(fù)合函數(shù)法，
(9)三角代換法，
(10)基本不等式法等
三、關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)
定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本元件。平時數(shù)學(xué)中，實行定義域優(yōu)先的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手硬一手軟，使學(xué)生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當?shù)�，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質(zhì)有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的.取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對函數(shù)本質(zhì)的認識。
范圍與值域相同嗎?
范圍與值域是我們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。值域是所有函數(shù)值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值)，而范圍則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：值域是一個范圍，而范圍卻不一定是值域。
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一、函數(shù)的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;
3、對數(shù)的真數(shù)大于零;
4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;
5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2;
6、如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法：
1、定義法;
2、換元法;
3、待定系數(shù)法;
4、函數(shù)方程法;
5、參數(shù)法；
6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法：
1、換元法;
2、配方法;
3、判別式法;
4、幾何法;
5、不等式法;
6、單調(diào)性法;
7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法：
1、配方法;
2、換元法;
3、不等式法;
4、幾何法;
5、單調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：
1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)函數(shù)
2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)
3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：
1、如果一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)
2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。
3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。
4、兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù);當兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。
5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。
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