全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽經(jīng)典試題
導(dǎo)語：數(shù)模參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機(jī)實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進(jìn)等方面的論文(即答卷)。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識，請關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)的
經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模問題：
運用灰色關(guān)聯(lián)模型為我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整和優(yōu)化提供建議
改革開放以來，中國的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化都是以經(jīng)濟(jì)增長為主要目標(biāo)，在該目標(biāo)下所形成的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)己經(jīng)使中國經(jīng)濟(jì)保持了近三十年的高速增長。但是，由于忽視了能源與環(huán)境目標(biāo)，過快的經(jīng)濟(jì)增長導(dǎo)致了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)失衡、能源消耗過渡、環(huán)境污染嚴(yán)重等問題。因此，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化作為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要手段已不是傳統(tǒng)意義所指，結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目標(biāo)更著重于促進(jìn)產(chǎn)業(yè)持續(xù)、健康發(fā)展以及產(chǎn)業(yè)與自然、社會和諧發(fā)展，結(jié)構(gòu)狀態(tài)和變化趨勢符合可持續(xù)發(fā)展要求，結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和變革促進(jìn)產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展能力增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化政策貫徹可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略思想等。
基于此結(jié)合收集的資料，建立數(shù)學(xué)模型，解決一下問題。 問題一：建立各產(chǎn)業(yè)對我國經(jīng)濟(jì)增長影響的定量數(shù)學(xué)模型。 問題二：定量分析能源消費結(jié)構(gòu)對空氣質(zhì)量的的關(guān)系。
問題三：建立數(shù)學(xué)模型分析未來能源消費的大體趨勢。
問題四：結(jié)合以上問題結(jié)論為我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整和優(yōu)化提供一些建議。
一、問題分析
問題一 我們發(fā)現(xiàn)我國各產(chǎn)業(yè)對經(jīng)濟(jì)的增長都有一定的作用，通過表 分析我們需要定量分析各產(chǎn)業(yè)對我國經(jīng)濟(jì)增長影響的大小，于是我們通過建立灰色關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型計算各產(chǎn)業(yè)灰色相對關(guān)聯(lián)度p1,p2,p3,比較其大小發(fā)現(xiàn)各產(chǎn)業(yè)對我國經(jīng)濟(jì)增長的定量影響。
問題二 我們認(rèn)為SO2排放放映出我國空氣質(zhì)量的大體狀況，而無論是煤炭，石油，天然氣，電能等能源的消耗都會排放一定量的的SO2，但我們無法準(zhǔn)確確定影響大小，于是我們考慮建立灰色關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型，計算出各能源對SO2排放的影響程度大小，進(jìn)而確定能源消費結(jié)構(gòu)對空氣質(zhì)量的關(guān)系。
問題三 對未來十年的能源消費量和空氣質(zhì)量的預(yù)測，建立灰色 GM 預(yù)
測模型，為了削弱數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，保證序列的趨勢性，首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。 將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，代入到灰色模型中，利用最小二乘法，得到時間響應(yīng)方程。 利用時間響應(yīng)方程進(jìn)行遞推可以得到各年的預(yù)測值，并與真值比較，計算相對誤 差。為了保證模型的準(zhǔn)確性，對預(yù)測值進(jìn)行后驗差檢驗，計算小誤差概率和原始 序列標(biāo)準(zhǔn)差與絕對誤差序列比值，并查表對照。運用同樣的方法對各種污染物排 放量預(yù)測，用 MATLAB 畫各種污染物排放量變化趨勢，分析空氣質(zhì)量的.
二、模型假設(shè)
1、題目所給的數(shù)據(jù)真實可靠。
2、GDP總量能反映我國的經(jīng)濟(jì)總量。
3、SO2可以反映我國空氣的質(zhì)量狀況，空氣質(zhì)量狀況可在一定程度上反映我國環(huán)境狀況。 4、煤炭、石油、天然氣、電能等能源消耗都對SO2的排放有影響。
四、符號的說明與名詞解釋
五、模型的建立
問題一
我們運用灰色關(guān)聯(lián)模型解決各產(chǎn)業(yè)對我國經(jīng)濟(jì)增長影響情況。
灰色關(guān)聯(lián)度，指的是兩個系統(tǒng)或兩個因素之間關(guān)聯(lián)性大小的量度。目的，是在于尋求系統(tǒng)中各因素之間的主要關(guān)系，找出影響目標(biāo)值的重要因素，從而掌握事物的主要特征，促進(jìn)和引導(dǎo)系統(tǒng)迅速有效地發(fā)展。這些灰色因素是不明確的，我們需要對灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析研究，找到關(guān)聯(lián)性為系統(tǒng)決策提供基礎(chǔ)。 按灰色關(guān)聯(lián)理論的要求，我們將各產(chǎn)業(yè)能源消費量與經(jīng)濟(jì)總量視為一個灰色系統(tǒng)，其中各指標(biāo)如下：
第一產(chǎn)業(yè)能源消費量 第二產(chǎn)業(yè)能源消費量 第三產(chǎn)業(yè)能源消費量
將影響經(jīng)濟(jì)總量的指標(biāo)作為該系統(tǒng)的若干因素，研究各指標(biāo)對經(jīng)濟(jì)總量的影響，關(guān)聯(lián)度大表示對經(jīng)濟(jì)總量影響大，反之對經(jīng)濟(jì)總量影響小。 灰色關(guān)聯(lián)動態(tài)分析的建模步驟如下
(1)確定反映系統(tǒng)行為特征的參考數(shù)列和影響系統(tǒng)行為的比較數(shù)列 (2)對參考數(shù)列和比較數(shù)列進(jìn)行無量綱化處理
(3)求參考數(shù)列與比較數(shù)列的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)ξ(Xi)
(4)求關(guān)聯(lián)度ri
(5)關(guān)聯(lián)度排序
借助matlab編寫程序計算各產(chǎn)業(yè)耗能的灰色關(guān)聯(lián)度得以下表格
從灰色關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果來看，將經(jīng)濟(jì)總量作為系統(tǒng)特征序列時有r3>r2>r1.即對我國經(jīng)濟(jì)總量影響程度依次是第三產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第一產(chǎn)業(yè)。
問題二
如問題一所建立的.灰色關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)模型
按灰色關(guān)聯(lián)理論的要求，我們將煤炭、石油、天然氣、電能的消耗量與SO2排放量視為一個灰色系統(tǒng)，其中各指標(biāo)如下： 煤炭的消耗量xk1 石油的消耗量xk2 天然氣的消耗量xk3
電能的消耗量xk4
以SO2近幾年排放量作為比較數(shù)列m1、m2、m3、m4、m5、m6。并對xki和mi進(jìn)行無量綱化得到wki和zi 。定義wki和zi在k的的關(guān)聯(lián)細(xì)數(shù)yi(k)為
P為分辨系數(shù)我們一般取0.5計算。Wki和zi關(guān)聯(lián)度為
我們將xki 和mi所查找數(shù)據(jù)做成表格
借助matlab編寫程序計算各能源消耗量的灰色關(guān)聯(lián)度得以下表格
從灰色關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果來看，將SO2作為系統(tǒng)特征序列時有 r2>r1>r4>r3 .即對SO2排放量影響程度依次是石油、煤炭、電能(水能，核能，風(fēng)電)、天然氣 。 問題三
【2】
用灰色GM模型預(yù)測未來十年中國能源消耗：
對于短觀測數(shù)據(jù)序列，由于獲取的信息量少，難以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)變化規(guī)律，若用統(tǒng)計分析方法建模，所作出的預(yù)測將不準(zhǔn)確�；疑碚撌翘幚砩贁�(shù)據(jù)、不確定性問題的理論。對此問題，建立灰色預(yù)測模型可以得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果。
定義2000 至2009 十年的能源消費總量為原始觀測值序列：X0={x0(i)}(i=1,2，…n) 累加生成操作是灰色系統(tǒng)理論中重要的數(shù)據(jù)處理方法，通過累加生成，任意非負(fù)數(shù)列、擺動數(shù)列都可以轉(zhuǎn)化為非減的遞增數(shù)列，從而削弱原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，突出其趨勢性，累加式如下：
x1(k)=
x(i)(k=1,2，……，n)
0i1
k
生成累加數(shù)列為 X1={x1(i)} (i=1,2,……，n) 令Z1為X1的均值數(shù)列，即 z1(k)=0.5x1(k)+0.5x1(k-1)，(k=2,3，……，n) 由此定義灰微分方程模型GM(1,1)為
x0(k)+az1(k)=b
z1(2)z1(3)
TT
令YN=(x0(2)，x0(3)，……，x0(n))，u=(a，b)，B=
...
z1(n)11， ...1
T
則GM(1,1)模型可以表示為矩陣方程YN=Bu，參數(shù)向量u可用最小二乘法確定。如果BB
T-1T
非奇異，則 u=(BB)BYN。 解得a、b的值之后，可以得到X1的序列的時間響應(yīng)方程：
-ak
x1(k+1)=(x0(1)-a/b)e+b/a
式中：參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。如時間響應(yīng)方程能通過精度檢驗，則可通過累減運算還原進(jìn)行預(yù)測:
x0(k+1)=(x1(k+1)-x1(k)) (k=n,n+1,n+2，……)
我們用以上模型，代入題目給出的數(shù)據(jù)，得出結(jié)果：
0.887k
a=-0.0887，b=138390，x1(k+1)=145531*e-1560157,得到00年至09年的計算結(jié)果，與真實數(shù)據(jù)對比：
圖七 能源消耗預(yù)測與實際對比圖
從圖中我們看出此預(yù)測模型非常準(zhǔn)確，可以用來預(yù)測未來十年的能源消耗量：
表7 未來十年能源消耗預(yù)測
單位：萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤
圖八 能源消耗預(yù)測圖
從圖中看出能源消耗逐年上升，但是上升速度并沒有發(fā)生明顯變化。
問題四
我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展已進(jìn)入工業(yè)化中期階段，經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展和經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)重型化特征使得能源需求強(qiáng)勁增長，給我國的能源供應(yīng)和環(huán)境帶來極大挑戰(zhàn)。優(yōu)化能源消費結(jié)構(gòu)，提高能源效率成為應(yīng)對能源供應(yīng)壓力的關(guān)鍵因素。
通過對以上三個問題的分析討論我們發(fā)現(xiàn)近幾年中第三產(chǎn)業(yè)對我過經(jīng)濟(jì)總量增長的作用是最明顯的但是中國作為一個發(fā)展中國家，第二產(chǎn)業(yè)在我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)中所占的比重仍是最大的。第二產(chǎn)業(yè)的能源消耗主要以煤炭石油等化工能源為主，我們通過問題二的分析知道煤炭等化工能源的消耗對我國環(huán)境的影響是最大的。通過問題三的分析我們得到在未來幾年中我們對煤炭資源的利用應(yīng)該是減少的。
所以我們應(yīng)從下面幾個方面調(diào)整以及優(yōu)化我國的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)：
1、加強(qiáng)對煤炭等化石燃料的監(jiān)管，改進(jìn)工藝，提高對化石燃料的利用。 2、大力發(fā)展清潔能源替代煤炭等高污染能源。
3、加快經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)型，逐步減少第二產(chǎn)業(yè)在我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)中所占的比重，加快第三產(chǎn)業(yè)的發(fā)展從而改變能源消費結(jié)構(gòu)，以達(dá)到對提高資源利用率和環(huán)境改善的目的。 4、加大對科技的投資和對資源的勘探工作，積極尋求國際合作。
六、模型的評價
在此數(shù)學(xué)模型中我們主要用了灰色關(guān)聯(lián)模型。 優(yōu)點： 1、對于我們研究的某些問題我們很難找出各因素之間的關(guān)系，灰色關(guān)聯(lián)模型為我們提供了一種很好的解決此類問題的方法，去尋求系統(tǒng)中各子系統(tǒng)(或因素)之間的數(shù)值關(guān)系。
因此，灰色關(guān)聯(lián)度分析對于一個系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢提供了量化的度量，非常適合動態(tài)歷程分析。
2、通過擬合尋找各因素與評價指標(biāo)的關(guān)系時，不容易尋找且工作量大，在灰色關(guān)聯(lián)模型中我們可以通過關(guān)聯(lián)度來解決問題得到綜合分析結(jié)果。
缺點：
在建立灰色關(guān)聯(lián)模型中很難建立準(zhǔn)確的關(guān)系，如需得到精確結(jié)果我們?nèi)孕枰业骄_的函數(shù)關(guān)系。
七、模型的改進(jìn)
我們可以通過增加樣本數(shù)據(jù)提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確度。如在模型二中，我們不僅可以考慮SO2的排放量，可以增加空氣中含氮污染物的量，空氣中粉塵的量，也可以不止考慮空氣的質(zhì)量，可增加對土壤，水資源污染程度的檢驗。
八、參考文獻(xiàn)
百度百科 灰色關(guān)聯(lián)分析法
2005到2009年中國環(huán)境統(tǒng)計年報 經(jīng)濟(jì)生活網(wǎng) (中國歷年GDP數(shù)據(jù))
中華人民共和國國家統(tǒng)計局 《中國統(tǒng)計年鑒》 (2005到2009) 《MATLAB 5.x入門與應(yīng)用》科學(xué)出版社 柳承茂改編
附錄
Matlab灰色關(guān)聯(lián)代碼：
yangben=[ 2549.3 2588.8 2468.1 2321.2 2214.4]; %樣本數(shù)據(jù)
fangzhen=[ 167085.88 183918.64 199441.19 204887.94 215879.49; 46727.41 49924.47 52735.5 53334.99 54889.81; 6483.91 7501.60 9256.76 10783.58 11959.23;
16047.80 17331.29 19074.54 22441.50 23918.47]; %待判數(shù)據(jù) [rows,cols]=size(fangzhen); p=0.5; %分辨系數(shù)
[m,n]=size(yangben); R=[];
for irow=1:rows yy=fangzhen(irow,:); data=[yy;yangben]; data_gyh1=yangben for i=1:m+1 for j=1:n
data_gyh(i,j)=data(i,j)/data_gyh1(j); end end
for i=2:m+1 for j=1:n
Dij(i-1,j)=abs(data_gyh(1,j)-data_gyh(i,j)); end end
Dijmax=max(max(Dij)); Dijmin=min(min(Dij)); for i=1:m for j=1:n
Lij(i,j)=(Dijmin+p*Dijmax)/(Dij(i,j)+p*Dijmax); end end
LijRowSum=sum(Lij'); for i=1:m
Rij(i)=LijRowSum(i)/n; end
R=[R;Rij]; end R
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