人教版初二數(shù)學(xué)《與三角形有關(guān)的角》教案設(shè)計(jì)
教學(xué)內(nèi)容：與三角形有關(guān)的角
教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)與技能：
(1)掌握三角形內(nèi)角和定理證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用;
(2)掌握三角形的外角的定義、三角形外角性質(zhì)定理及其推論的證明和靈活運(yùn)用。
2、過(guò)程與方法：通過(guò)動(dòng)手操作探索三角形三個(gè)內(nèi)角的和，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決實(shí)際問(wèn)題;探究三角形外角的性質(zhì)定理，能夠運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)定理解決實(shí)際問(wèn)題;經(jīng)歷小組協(xié)作討論，進(jìn)一步發(fā)展合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。
3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：養(yǎng)成獨(dú)立觀察思考的習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中轉(zhuǎn)化的巧妙。
教學(xué)重點(diǎn)：
(1)三角形內(nèi)角和定理;
(2)三角形的外角的定義，三角形外角的性質(zhì)定理及其推論。
教學(xué)難點(diǎn)：
(1)三角形內(nèi)角和定理的證明;
(2)三角形外角性質(zhì)定理和推論及其應(yīng)用。
教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、嘗試探究法。
教學(xué)過(guò)程：
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課：
前面我們學(xué)習(xí)了三角形的邊，今天這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角。 我們已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。雖然度量的方法可以驗(yàn)證一些具體的三角形的內(nèi)角和等于180°，但是形狀不同的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，我們不可能用度量的方法一一驗(yàn)證。接下來(lái)我們將一起探索并證明三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°。
二、合作交流，解讀探究：
1、拼圖實(shí)驗(yàn)：
(1)教師展示圖(1)的拼法，并利用此拼圖證明三角形內(nèi)角和定理。
(2)分析拼圖：在圖(1)中，由內(nèi)錯(cuò)角相等可得，移動(dòng)后∠B的一條邊平行于邊BC;同理，移動(dòng)后∠C的一條邊平行于邊BC。由“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行”可得，移動(dòng)后∠B的一條邊和移動(dòng)后∠C的一條邊在同一條直線(xiàn)上，并且這條直線(xiàn)平行于邊BC。
(3)提問(wèn)：通過(guò)上面的分析，你能想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎?
由上面的分析，啟發(fā)學(xué)生過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A作直線(xiàn)?∥BC,即可實(shí)現(xiàn)“角的拼合”，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)與平角的定義進(jìn)行證明。
(4)指導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明過(guò)程，規(guī)范證明格式。
已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：過(guò)A點(diǎn)作直線(xiàn)DE∥BC ∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(平角的定義) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)
應(yīng)指出輔助線(xiàn)通常畫(huà)為虛線(xiàn),并在證明前交代說(shuō)明。
(5)每個(gè)學(xué)生把課前準(zhǔn)備好的三角形紙片的兩個(gè)內(nèi)角剪下，和第三個(gè)內(nèi)角拼在一起。
讓學(xué)生展示自己的拼法。
(6)學(xué)生口述利用圖(2)證明的過(guò)程。
已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180°
證明：作BC的延長(zhǎng)線(xiàn)CD，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CE∥BA ∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD(兩直線(xiàn)平行，同位角相等) ∠A=∠ACE(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定義) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)
C
D
C
D
A
E
2、小結(jié)證明思路：通過(guò)作平行線(xiàn)“搬兩個(gè)角”，運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)和平角的定義證明。
3、發(fā)散思考：在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，可以“搬兩個(gè)角”來(lái)說(shuō)理。如果只“搬一個(gè)角”行嗎? “搬三個(gè)角”呢?這個(gè)問(wèn)題留給同學(xué)們?cè)谡n后研討。
4、三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°。
5、鞏固練習(xí)：
說(shuō)出下列圖形中∠1的度數(shù)：
(2)
6、外角：
(1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角。
如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角。
問(wèn)題：①一個(gè)三角形一共有幾個(gè)外角?
②判斷下面圖形中∠1是不是三角形的外角?
(2)性質(zhì)定理及其推論：
(1)
B
(2)
推導(dǎo)：由∠A+∠B+∠ACB=180°，可得∠ACB=180°-∠A-∠B 由∠ACB+∠ACD=180°，可得∠ACD=180°-∠ACB
所以 ∠ACD=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B 性質(zhì)定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 推論：三角形的'一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。 (3)鞏固練習(xí)：說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：
D
北
(2)
(1)
三、應(yīng)用舉例：
例1 如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度?
解：由題意可知 ∠1=50°，∠1+∠2=80°，∠4=40°
所以 ∠2=30°
由AD∥BE，可得∠1 +∠2+∠3+∠4=180°。
所以∠3=180°-∠1-∠2-∠4=180°-50°-30°-40°=60°
在⊿ABC中，∠ACB=180°-∠2-∠3=180°-60°-30 °=90° 答：從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°。 提問(wèn)：你還能想出其他的解法嗎?其他解題思路：
(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AD于點(diǎn)M，交直線(xiàn)BE于點(diǎn)N。 (2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD。
圖1
北
F
D
北例2 如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少?
解：如圖，因?yàn)椤螧AE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和) 所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)， 因?yàn)?∠1+∠2+∠3=180°，
所以 ∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°。
提問(wèn)：你還能想出其他的解法嗎?(利用平角的定義) 歸納結(jié)論：三角形的外角和等于360°。
四、課堂小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲?
五、布置作業(yè)：1、必做題：教材P76 習(xí)題7.2 第1、4、7題。 2、選做題：
(1)已知：P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)。
求證：∠BPC>∠BAC
(2)已知：在△ABC中，AD是BC邊上的高，E
是AC邊上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠AFB=120°。
求證：BE⊥AC
B
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