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高考數(shù)學(xué)知識點梳理復(fù)習(xí)函數(shù)定義域教案
教案15 函數(shù)的定義域
一、前檢測
1. （2008全國）函數(shù) 的定義域是____________. 答案：
2.函數(shù) 的定義域為 ，則 的定義域為____________. 答案：
3．函數(shù) 的定義域為（ ）
二、知識梳理
1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合. 答案：有意義的自變量的取值
解讀：
2．常見的三種題型確定定義域：
�、� 已知函數(shù)的解析式，就是 . 答案：解不等式（組）
如：① ，則 ； ② ，則 ；
�、� ，則 ； ④ ，則 ；
⑤ ，則 ； ⑥ 是整式時，定義域是全體實數(shù)。
解讀：
�、� 復(fù)合函數(shù)f [g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的 域是外函數(shù)f (x)的 域.
解讀：
③實際應(yīng)用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合.
解讀：
三、典型例題分析
例1。求下列函數(shù)的定義域
(1) ； 答案：
(2) 答案：
變式訓(xùn)練：求下列函數(shù)的定義域
�。�1） 答案：
（2）f(x)＝ 答案：
小結(jié)與拓展：根據(jù)基本初等函數(shù)的定義域構(gòu)建不等式（組）
例2 （1）若 的定義域為［－1，1］，求函數(shù) 的定義域
解： 的定義域為［－2，0］
（2）若 的定義域是［－1，1］，求函數(shù) 的定義域
解： ， 的定義域為［0，2］
變式訓(xùn)練1：已知函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域為
答案：
變式訓(xùn)練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)f(x-a)（0＜a＜ ）的定義域是（ B ）
A. ? B.［a，1-a］? C.［-a，1+a］? D.［0，1］?
小結(jié)與拓展：求函數(shù)的定義域要注意是求 的取值范圍，對同一對應(yīng)法則定義域是相同的。
例3 如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于一個半徑為r的圓，且下底AD＝2r，如圖，記腰AB長為x，梯形周長為y，試用x表示y并求出函數(shù)的定義域
解：連結(jié)BD，過B向AD作垂線BE，垂足為E
∵AD為直徑，∴∠ABD＝90°，又AD＝2r，AB＝x
在△ABE中，
小結(jié)與拓展：
對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后，必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義確定。
變式訓(xùn)練：等腰梯形ABCD的兩底分別為 ，作直線 交 于 ，交折線ABCD于 ，記 ，試將梯形ABCD位于直線 左側(cè)的面積 表示為 的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域。
答案：
四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.反思（不足并查漏）：
2016屆高考數(shù)學(xué)第一輪古典概型導(dǎo)學(xué)案復(fù)習(xí)
高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)48----古典概型
【高考要求】古典概型（B）; 互斥事及其發(fā)生的概率（A）
【學(xué)習(xí)目標】：1、了解概率的頻率定義，知道隨機事的發(fā)生是隨機性與規(guī)律性的統(tǒng)一；
2、理解古典概型的特點，會解較簡單的古典概型問題；
3、了解互斥事與對立事的概率公式，并能運用于簡單的概率計算.
【知識復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】
1、古典概型是一種理想化的概率模型，假設(shè)試驗的結(jié)果數(shù)具有 性和 性.解古典概型問題關(guān)鍵是判斷和計數(shù)，要掌握簡單的記數(shù)方法（主要是列舉法）.借助于互斥、對立關(guān)系將事分解或轉(zhuǎn)化是很重要的方法.
2、(A)在10同類產(chǎn)品中，其中8為正品，2為次品。從中任意抽出3，則下列4個事：①3都是正品；②至少有一是正品；③3都是次品；④至少有一是次品.是必然事的是 .
3、(A)從5個紅球，1個黃球中隨機取出2個，所取出的兩個球顏色不同的概率是 。
4、(A)同時拋兩個各面上分別標有1、2、3、4、5、6均勻的正方體玩具一次，“向上的兩個數(shù)字之和為3”的概率是 .
5、(A)某人射擊5槍，命中3槍，三槍中恰好有2槍連中的概率是 .
6、(B)若實數(shù) ,則曲線 表示焦點在y軸上的雙曲線的概率是 .
【例題精講】
1、(A)甲、乙兩人參加知識競答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題.（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？
（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？
2、(B)黃種人群中各種血型的人所占的比例如下表所示：
血型ABABO
該血型的人所占的比（％）2829835
已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血，若小明因病需要輸血，問：
�。�1）任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？
�。�2）任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？
3、(B)將兩粒骰子投擲兩次，求：（1）向上的點數(shù)之和是8的概率；（2）向上的點數(shù)之和不小于8 的概率；（3）向上的點數(shù)之和不超過10的概率.
4、(B)將一個各面上均涂有顏色的正方體鋸成 (n個同樣大小的正方體，從這些小正方體中任取一個，求下列事的概率：（1）三面涂有顏色；（2）恰有兩面涂有顏色；
�。�3）恰有一面涂有顏色；（4）至少有一面涂有顏色.
【矯正反饋】
1、(A)一個三位數(shù)的密碼鎖，每位上的數(shù)字都可在0到10這十個數(shù)字中任選，某人忘記了密碼最后一個號碼，開鎖時在對好前兩位號碼后，隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖的概率是 .
2、(A)第1、2、5、7路公共汽車都要停靠的一個車站，有一位乘客等候著1路或5路汽車，假定各路汽車首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好是這位乘客所要乘的的車的概率是 .
3、(A)某射擊運動員在打靶中，連續(xù)射擊3次，事“至少有兩次中靶”的對立事是 .
4、(B)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別為3％和1％，求抽驗一只是正品（甲級）的概率 .
5、(B)袋中裝有4只白球和2只黑球，從中先后摸出2只求（不放回）.求：（1）第一次摸出黑球的概率；（2）第二次摸出黑球的概率；（3）第一次及第二次都摸出黑球的概率.
【遷移應(yīng)用】
1、(A)將一粒骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率是 .
2、(A)從魚塘中打一網(wǎng)魚，共條，做上標記后放回池塘中，過了幾天，又打上一網(wǎng)魚，共N條，其中條有標記，估計池塘中魚的條數(shù)為 .
3、(A)從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中，任取2張，這兩張上的字母恰好按字母順序相鄰的概率是 .
4、(B)電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59的每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率是 .
5、(B)將甲、乙兩粒骰子先后各拋一次，a,b分別表示拋擲甲、乙兩粒骰子所出現(xiàn)的點數(shù).
�。�1）若點P（a,b）落在不等式組 表示的平面區(qū)域記為A，求事A的概率；
�。�2）求P（a,b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上，且使此事的概率最大，求m的值.
高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象知識歸納復(fù)習(xí)教案
3.三角函數(shù)的圖象
目標：了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡圖，理解 的物理意義，掌握由函數(shù) 的圖象到函數(shù) 的圖象的變換原理．
重點：函數(shù) 的圖象到函數(shù) 的圖象的變換方法．
教學(xué)過程：
一、主要知識：
1．三角函數(shù)線；注：
2．
3．
�、儆梦妩c法作圖
0A0-A0
�、趫D象變換：平移、伸縮兩個程序
�、跘---振幅 ----周期 ----頻率
4．圖象的對稱性
① 的圖象既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。
�、� 的圖象是中心對稱圖形，有無窮多條垂直于x軸的漸近線。
二、主要方法：
1．“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù) 的簡圖，五個特殊點通常都是取三個平衡點，一個最高、一個最低點；
2．給出圖象求 的解析式的難點在于 的確定，本質(zhì)為待定系數(shù)法，基本方法是：①尋找特殊點（平衡點、最值點）代入解析式；②圖象變換法，即考察已知圖象可由哪個函數(shù)的圖象經(jīng)過變換得到的，通�？捎善胶恻c或最值點確定周期 ，進而確定 ．
三、例題分析：
1．三角函數(shù)線的應(yīng)用
例1：解三角不等式組
思路分析：利用三角函數(shù)線和單調(diào)性求解。
解：如圖：
2．三角函數(shù)圖象的變換
例2．已知函數(shù)
�。�1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合
�。�2）該函數(shù)的圖象可由 的圖象經(jīng)怎樣的平移和伸縮變換得到？
思路分析：利用三角變換，將 化為 求解。
解：①
②1）將函數(shù) 的圖象向左平移 得函數(shù) 的圖象；
2)將所得圖象上各點橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),得函數(shù) 的圖象,
3)將所得圖象上各點縱坐標縮短到原來的 倍(橫坐標不變),得函數(shù) 的圖象,
4)將所得圖象向上平移 個單位長度,到得函數(shù) 的圖象,
3．由圖象寫解析式或由解析式作圖
例3如圖為某三角函數(shù)圖象的一段
�。�1）用函數(shù) 寫出其中一個解析式；
�。�2）求與這個函數(shù)關(guān)于直線 對稱的函數(shù)解析式，并作出它一個周期內(nèi)簡圖。
思路分析：由 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五點法作簡圖。
解：（1）
由圖它過 （為其中一個值）
�。�2） 上任意一點，該點關(guān)于直線 對稱點為
關(guān)于直線 對稱的函數(shù)解析式是
列表：
0-3030
作圖：
4．三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
例4已知函數(shù)f(x)＝ 為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
�。á瘢┣骹（ ）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解：（Ⅰ）f(x)＝
�。�2sin( - )
因為 f(x)為偶函數(shù)，
所以 對x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- - ）＝sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得 sin cos( - )=0.因為 ＞0，且x∈R,所以 cos（ - ）＝0.
又因為 0＜ ＜π，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( + )=2cos .
由題意得
故 f(x)=2cos2x. 因為
（Ⅱ）將f(x)的圖象向右平移個 個單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到 的圖象.
當 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即 4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)時，g(x)單調(diào)遞減.
因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (k∈Z)
（備選例5）、已知函數(shù)
�。á瘢┣蠛瘮�(shù) 的最小正周期和圖象的對稱軸方程
�。á颍┣蠛瘮�(shù) 在區(qū)間 上的值域
解：（1）
由
函數(shù)圖象的對稱軸方程為
�。�2）
因為 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 當 時， 取最大值 1
又 ，當 時， 取最小值
所以 函數(shù) 在區(qū)間 上的值域為
高三理科數(shù)學(xué)三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案
高考導(dǎo)航
考試要求重難點擊命題展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在(－ , )上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x.
6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響.
7.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.本重點：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本難點：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運用三角公式化簡、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識之一.在高考中主要考查對三角函數(shù)概念的理解；運用函數(shù)公式進行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識圖等.解三角形的問題往往與其他知識(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.
知識網(wǎng)絡(luò)
5.1 任意角的三角函數(shù)的概念
典例精析
題型一 象限角與終邊相同的角
【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、 的終邊所在的象限.
【解析】因為α是第二象限角，
所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).
因為2k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負半軸上.
因為k 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，
當k＝2n(n∈Z)時，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，
當k＝2n＋1(n∈Z)時，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角 .
【點撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定α2所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則α12、α22、α32、α42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
當k是奇數(shù)時，α是第三象限角.
當k是偶數(shù)時，α是第一象限角.故選C.
題型二 弧長公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當α為多少弧度時，該扇形的面積有最大值？并求出這個最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，
因為α＝60°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.
(2)因為C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，
當且僅當α＝4α?xí)r，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形的面積有最大值為C216.
【點撥】用弧長公式l＝ α R與扇形面積公式S＝12lR＝12R2α?xí)r，α的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當圓心角α為多少弧度時，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值.
【解析】因為S＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周長C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
當且僅當l＝2R時，C＝4S，
所以當α＝lR＝2時，周長C有最小值4S.
題型三 三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sin α；(2)求滿足sin x≤32的角x的集合.
【解析】(1)由 交點為(－55，－255)或(55，255 )，
所以sin α＝±255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(0，32)，過該點作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對應(yīng)的角.
�、诋媴^(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.
�、蹖懠希核蠼莤的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【點撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點的坐標定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lg sin x＋cos x－12的定義域為 .
【解析】
2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函數(shù)的定義域為{x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
提高
1.確定一個角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k360°＋π3的錯誤書寫.
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.
5.2 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡問題
【點撥】運用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，則f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.
因為θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
題型二 三角函數(shù)式的求值問題
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【變式訓(xùn)練2】已知tan α＝12，則2sin αcos α＋cos2α等于( )
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故選B.
題型三 三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題
【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
�。�75×(1－1225)＝91125.
【點撥】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin x±cos x取值符號.
【變式訓(xùn)練3】化簡1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
�。�2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
提高
1.對于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負為正，化復(fù)雜為簡單.
5.3 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡
【例1】化簡 (0＜θ＜π).
【解析】因為0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
�。� ＝－cos θ.
【點撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成θ2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.
【變式訓(xùn)練1】化簡2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.
題型二 三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0tan x2＝2，所以tan x＝ ＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x
�。�(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.
【變式訓(xùn)練2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.
題型三 已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因為tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，
因為α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【點撥】由三角函數(shù)值求角時，要注意角度范圍，有時要根據(jù)三角函數(shù)值的符號和大小將角的范圍適當縮小.
【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sin α，則α與β的大小關(guān)系是( )
A.α＝βB.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因為2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是銳角，所以α≤30°.
又當α＝30°，β＝60°時符合題意，故選B.
方法二：因為2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因為α、β是銳角，所以α＜β，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題；
(2)對公式會“正用”、“逆用”、“變形使用”；
(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通過運用公式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條.
5.4 三角恒等變換
典例精析
題型一 三角函數(shù)的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝ ＝12.
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2 tan α＝1.
又因為α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.
【點撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條與目標之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.
【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )
A.1318 B.1322 C.723 D.318
【解析】因為α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故選C.
題型二 等式的證明
【例2】求證：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).
【證明】證法一：
右邊＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α
�。絪in [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左邊.
證法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
【點撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎.
【變式訓(xùn)練2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【證明】因為5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
題型三 三角恒等變換的應(yīng)用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求證：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求證：tan C＝sin 2B3－cos 2B；
(3)在(2)的條下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因為C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B＝tan B1＋2tan2B＝sin Bcos Bcos2B＋2sin2B＝
＝sin 2B2(2－1＋cos 2B2)＝sin 2B3－cos 2B.
(3)由(2)知tan C＝tan B1＋2tan2B＝12tan B＋1tan B≤122＝24，
當且僅當2tan B＝1tan B，即tan B＝22時，等號成立.
所以tan C的最大值為24.
【點撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運用解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標意識.
【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)，
3(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即tan B＋tan C1－tan Btan C＝3，tan A＋tan B1－tan Atan B＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因為0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是頂角為2π3的等腰三角形.
總結(jié)提高
三角恒等式的證明，一般考慮三個“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.
5.5 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 三角函數(shù)的周期性與奇偶性
【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判斷g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2＝sin x2＋3cos x2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cos x2.
所以g(x)為偶函數(shù).
【點撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡三角函數(shù).
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C.π2 D.π3
【解析】y＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12
�。�22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故選B.
題型二 求函數(shù)的值域
【例2】求下列函數(shù)的值域：
(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.
【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x1－cos x＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋12)2－12，
當cos x＝1時，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，
當cos x＝－12時，f(x)min＝－12，所以函數(shù)的值域為[－12，4).
(2)f(x)＝2(cos π3cos x－sin π3sin x)＋2cos x
�。�3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)，
所以函數(shù)的值域為[－23，23].
【點撥】求函數(shù)的值域是一個難點，分析函數(shù)式的特點，具體問題具體分析，是突破這一難點的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，則有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
從而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函數(shù)的值域為[－1，2＋12].
題型三 三角函數(shù)的單調(diào) 性
【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，φ＜π)的部分圖象如圖所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】(1)由圖可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因為φ＜π，所以φ＝－π2.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos 2x.
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－π2)]＝cos 2xsin 2x＝12sin 4x.
所以當2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)時g(x)單調(diào)遞增.
故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【點撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.
【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是( )
A.[0，π3] B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6] D.[5π6，π]
【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C.
總結(jié)提高
1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.
3.求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?
4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性.
5.6 函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 “五點法”作函數(shù)圖象
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期為π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；
(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因為T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為π3.
(2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示.
(3)把y＝sin x圖象上的所有點向左平移π3個單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋π3)的圖象，再把
y＝sin(x＋π3)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原的12(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋π3)的圖象，然后把y＝sin(2x＋π3)的圖象上的所有點的縱坐標伸長到原的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋π3)的圖象.
【點撥】用“五點法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個周期內(nèi)的五個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個定義域上的圖象.
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)
的圖象如圖所示，則( )
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本題的函數(shù)是一個分段函數(shù)，其中一個是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝12.另一個函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.將點(5π3，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.結(jié)合各選項可知，選項A正確.
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與值域
【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為π6.
(1)求ω的值；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，將x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
當x＝4kπ＋43π，k∈Z時，函數(shù)g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【點撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.
【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個單位后得到的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱，則φ的最小值是( )
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的圖象.
因為該函數(shù)的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
當k＝0時，φ取得最小值π4，故選A.
題型三 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因為y＝f(x)的最大值為2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因為y＝f(x)過點(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因為φ＝π4，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sin π2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因為f(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【點撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2 ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx2＋2＝Acos 2ωx2＋A2＋2，則由題意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
總結(jié)提高
1.用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個點的選取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作圖所需的五個點的坐標，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應(yīng)適當調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.
2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.
3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時，應(yīng)將ωx＋φ視為一個整體x后再與基本函數(shù)
y＝sin x的性質(zhì)對應(yīng)求解.
5.7 正弦定理和余弦定理
典例精析
題型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cos C＝34.
(1)求sin A的值；(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C＝34得sin C＝74.
所以sin A＝BC sin CAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cos A＝528.
所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C
＝－15232＋7232＝－24.
所以 ＝ ( ＋ )＝ ＋
�。剑�1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.
【點撥】在解三角形時，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識.
【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2＋b2－c24，則∠C＝ .
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absin C.
所以sin C＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
題型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題
【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊長，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若 ＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因為sin2A＝(32cos B＋12sin B)(32cos B－12sin B)＋sin2B＝34cos2 B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sin A＝±32.又A為銳角，所以A＝π3.
(2)由 ＝12可得cbcos A＝12.①
由( 1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
�、郏凇�2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識，考查綜合運算求解能力.
【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿足(2a－c)cos B＝
bcos C.
(1)求角B的大��；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面積.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入(2a－c)cos B＝bcos C，
整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，
即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，
在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，
因為∠B是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
�。�(a＋c)2－2ac－2ac cos B，
將b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsin B＝32sin 60°＝334.
題型三 正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用
【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距203海里的C點的救 援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達D點需要多長時間？
【解析】由題意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝ ＝
�。� ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，則需要的時間t＝3030＝1(小時).
所以，救援船到達D點需要1小時.
【點撥】應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是：
(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；
(2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對應(yīng)關(guān)系；
(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島的方位角為北偏東α角，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當α與β滿足條 時，該船沒有觸礁危險.
【解析】由題可知，在△AB中，根據(jù)正弦定理得Bsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得B＝mcos αsin(α－β)，要使船 沒有觸礁危險需要Bsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，船沒有觸礁危險.
總結(jié)提高
1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sin A＞sin B是一種等價關(guān)系.
2.在判斷三角形的形狀時，一般將已知條中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條判斷角的范圍，以免增解或漏解.
5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題
【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形 停車場，使矩形的一個頂點P在 上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.
【解析】如圖，連接AP，過P作P⊥AB于.
設(shè)∠PA＝α，0≤α≤π2，
則P＝90sin α，A＝90cos α，
所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，
于是S四邊形PQCR＝PQPR
�。�(100－90cos α)(100－90sin α)
�。�8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.
設(shè)t＝sin α＋cos α，則1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.
S四邊形PQCR＝8 100t2－12－9 000t＋10 000
�。�4 050(t－109)2＋950 (1≤t≤2).
當t＝2時，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 0002 m2；
當t＝109時，(S四邊形PQCR)min＝950 m2.
【點撥】同時含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時，可設(shè)sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍.
【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜π2，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是( )
A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3xD.與x的值有關(guān)
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因為f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A.
題型二 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用
【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù).
經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；
(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為12.所以y＝12cos π6t＋1.
(2)由題知，當y＞1時才可對沖浪者開放，
所以12cos π6t＋1＞1，所以cos π6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因為0≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00.
【點撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準確求出函數(shù)解析式.
【變 式訓(xùn)練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且當點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結(jié)論：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號是 .
【解析】①②④.
題型三 正、余弦定理的應(yīng)用
【例3】為了測量兩頂、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機 能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標示)；(2)用字和公式寫出計算、N間距離的步驟.
【解析】(1)如圖所示：①測AB間的距離a；②測俯角∠AB＝φ，∠NAB＝θ，∠BA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△AB中 ，∠AB＝π－φ－β，由正弦定理得
B＝ABsin φsin∠AB＝asin φsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsin θsin∠ANB＝asin θsin(θ＋γ)，
所以在△BN中，由余弦定理得
N＝
�。絘2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是 海里/小時.
【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC＝tan∠OCB＝tan 60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan 75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有
OC＝ABtan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°
�。�10tan(30°＋45°)－tan 60°
＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度為5海里÷0.5小時＝10海里/小時.
總結(jié)提高
1.解三角形的應(yīng)用題時應(yīng)注意：
(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)將所有已知條化入同一個三角形中求解；
(3)方程思想在解題中的運用.
2.解三角函數(shù)的綜合題時應(yīng)注意：
(1)與已知基本函數(shù)對應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個整體X；
(2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)換元方法在解題中的運用.
2016屆高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何備考復(fù)習(xí)教案
專題四：立體幾何
第三講 空間向量與立體幾何
【最新考綱透析】
1．空間向量及其運算
�。�1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
�。�2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
�。�3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
2．空間向量的應(yīng)用
�。�1）理解直線的方向向量與平面的法向量。
�。�2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。
（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。
�。�4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何 問題中的應(yīng)用。
【核心要點突破】
要點考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且�？汲Ｐ�。
考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)�？疾榈囊粋�重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ18）如圖，在多面體 中，四邊形 是正方形， ∥ ， ， ， ， ， 為 的中點。
(1)求證： ∥平面 ；
(2)求證： 平面 ；
(3)求二面角 的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的 線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。
【規(guī)范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。
要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角
考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。
2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。
考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:
�。�1）異面直線所成角
設(shè) 分別為異面直線 的方向向量，則
�。�2）線面角
設(shè) 是直線 的方向向量， 是平面的法向量，則
2．運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟為：
�。�1）建立恰當?shù)目臻g直角坐標。（2）求出相關(guān)點的坐標。（3）寫出向量坐標。（4）結(jié)合公式進行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。
例2：（2010?遼寧高考理科?Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別 為PB,BC的中點.
�。á瘢┳C明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】建系，寫出有關(guān)點坐標、向量的坐標，
計算 的數(shù)量積，寫出答案；
求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。
【規(guī)范解答】
設(shè)PA＝1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖。
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N( ,0,0)，S(1, ,0)
�。↖）
【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。
�。�2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。
�。�3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向 量與平面法向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。
要點考向3：利用空間向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。
2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。
考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
其計算公式為：設(shè) 分別為平面 的法向量，則 與 互補或相等，
例3：
如圖，在長方體 中， 、 分別是棱 ,
上的點， ,
求異面直線 與 所成角的余弦值；
證明 平面
求二面角 的正弦值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。
【思路點撥】建立空間直角坐標系或常規(guī)方法處理問題。
【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設(shè) ,依題意得 , , ,
易得 , ，于是 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 。
證明：已知 , ,
于是 ? =0， ? =0.因此， , ,又
所以 平面
(3)解：設(shè)平面 的法向量 ，則 ,即
不妨令X=1,可得 。由（2）可知， 為平面 的一個法向量。
于是 ，從而
所以二面角 的正弦值為
要點考向4：利用空間向量解決探索性問題
考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標高考的特點。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
�。↖）證明：平面A1ACC1 平面B1BCC1；
�。↖I）設(shè)AB＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。
（i）當點C在圓周上運動時，求p的最大值；
�。╥i）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為 （ ）。當p取最大值時，求cos 的值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。
【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中 我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量 ，有 ，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。
【規(guī)范解答】 （I） 平面 ， 平面 ， ，又 是 的直徑， ，又 ， 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ；
（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為 ，則 ，故圓柱的體積為 ，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為 ，所以 ，所以當 取得最大值時 取得最大值。又因為點 在圓周上運動，所以當 時， 的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積 最大，且其最大值為 ，故 的最大值為 ；
�。╥i）由（i）知， 取最大值時， ，于是，以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 ，則 平面 ， 是平面 的一個法向量，設(shè)平面 的法向量為 ，由于 ， ，
所以平面 的一個法向量為 ， ， 。
【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進行證 明：以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 ，設(shè)圓柱的底面半徑為 ， ，則 ，故圓柱的體積為 ，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為 ，所以 ，所以當 取得最大值時 取得最大值。 ，所以當 時的 的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積 最大，且其最大值為 ，故 的最大值為 ；
【高考真題探究】
1. 若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件 =-2,則 = .
【命題立意】本題考察空間向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】 先算出 、 ，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】 ， ，由
得 ，即 ，解得
【答案】2
2. 如圖， 在矩形 中，點 分別在線段
上， .沿直線 將 翻折成 ，使平面 .
�。á瘢┣蠖娼� 的余弦值；
（Ⅱ）點 分別在線段 上，若沿直線 將四邊形 向上翻折，使 與 重合，求線段 的長。
【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。
【思路點撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。
【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連結(jié) ，因為 = 及H是EF的中點，所以 ,又因為平面 平面 .
如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則 （2，2， ），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）. 故 =（-2，2，2 ）， =（6，0，0）.設(shè) =（x,y,z）為平面 的一個法向量，所以 。
取 ，則 。
又平面 的一個法向量 ，故 。
所以二面角的余弦值為
�。á颍┰O(shè) ，則 ， ，
因為翻折后， 與 重合，所以 ， ，
故， ，得 ， ，
所以 。
3. （2010陜西高考理科１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC= ，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。
【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。
【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.
【規(guī)范解答】解法一 （Ⅰ）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵AP=AB=2， BC= ，四邊形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐標為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0， ，0)，P(0,0,2)
又E，F(xiàn)分別是AD ，PC的中點，
∴E(0， ，0),F(1， ，1).
∴ =（2， ，-2） =（-1， ，1） =（1,0, 1），
∴ ? =-2+4-2=0， ? =2+0-2=0，
∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,
∴PC⊥平面BEF
�。↖I）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 ，
則
∴ ， ∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為
4. （2010重慶高考文科20）如題圖，四棱錐 中，
底面 為矩形， ， ，
點 是棱 的中點.
（I）證明： ；
（II）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，
考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.
【規(guī)范解答】（I）以 為坐標原點，
射線 分別為 軸、 軸、 軸的正半軸，
建立空間直角坐標系 .如圖所示.
設(shè)設(shè) ，則 ， ， ， 。于是 ， ， ，則 ，
所以 ，故 .
（II）設(shè)平面BEC的法向量為 ，由（Ⅰ）知， ，故可取 .設(shè)平面DEC的法向量 ，則 ，，由 ，得D ，G ，
從而 ， ，故 ，所以 ， ，可取 ，則 ，從而 .
【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標法，通過向量的坐標運算解題.
5. （2010江西高考文科２０）
如圖， 與 都是邊長為2的正三角形，
平面 平面 ， 平面 ， .
�。�1）求直線 與平面 所成的角的大小；
（2）求平面 與平面 所成的二面角的正弦值.
【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計算問題，考查空間向量的坐標運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力。
【思路點撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；
�。�2）對二面角的求法思路， 一般是 分三步①“作”，②“證”，③“求”. 其中“作”是關(guān)鍵， “證”
是難點.法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,則MO⊥平面 .
以O(shè)為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖.
OB=OM= ，則各點坐標分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為 .
因 （0， ， ），平面
的法向量為 .則有
，所以 .
�。�2） ， .
設(shè)平面ACM的法向量為 ，由 得 .
解得 ， ，取 .又平面BCD的法向量為 ，
則
設(shè)所求二面角為 ，則 .
6. （2010四川高考理科18）
已知正方體 的棱長為1，點 是棱 的中點，
點 是對角線 的中點.
�。á瘢┣笞C： 為異面直線 和 的公垂線；
�。á颍┣蠖娼� 的大��；
（Ⅲ）求三棱錐 的體積.
【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、
二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
【思路點撥】方法一：幾何法 問題（Ⅰ），分別證明 ， 即可.
問題（II）首先利用三垂線定理，作出二面角 的平面角， 然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.
問題（Ⅲ）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知， 和 都在平面 內(nèi)，且 ，故 ，利用三棱錐的體積公式很快求出 .
方法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結(jié) .取 的中點 ，則 為 的中點，連結(jié) .
∵點 是棱 的中點，點 是 的中點，
由 ，得 .
又∵ 與異面直線 和 都相交，
故 為異面直線 和 的公垂線，
（II）取 的中點 ，連結(jié) ，則 ，
過點 過點 作 于 ，連結(jié) ，則由三垂線
定理得， .
∴ 為二面角 的平面角.
在 中.
故二面角 的大小為 .
（III）易知， ,且 和 都在平面 內(nèi)，
點 到平面 的距離 ，
(方法二)：以點 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 ，
則 ， ， ， ， ，
�。↖） ∵點 是棱 的中點，點 是 的中點，
又∵ 與異面直線 和 都相交，
故 為異面直線 和 的公垂線，
�。↖I）設(shè)平面 的一個法向量為 ，
即
取 ，則 . .
取平面 的 一個法向量 .
由圖可知，二面角 的平面角為銳角，
故二面角 的大小為 .
（III）易知， ，設(shè)平面 的一個法向量為 ，
即
取 ，則 ，從而 .
點 到平面 的距離 .
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知點A（-3,1,-4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標為( )
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
3. 設(shè)動直線 與函數(shù) 和 的圖象分別交于 、 兩點，則 的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
4. 在直角坐標系中，設(shè) ， ，沿 軸把坐標平面折成 的二面角后， 的長為（ ）
A． B． C． D．
5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
6. 如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， 則下列向量中與 相等的向量是（ ）
�。ˋ） （B）
�。–） （D）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． ， ， 是空間交于同一點 的互相垂直的三條直線，點 到這三條直線的距離分別為 , , ，則 ,則 _ _。
8．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則 ? =
9．將正方形 沿對角線 折成直二面角后，有下列四個結(jié)論：
�。�1） ； （2） 是等邊三角形；
�。�3） 與平面 成60° ； （4） 與 所成的角為60°．
其中正確結(jié)論的序號為_________（填上所有正確結(jié)論的序號）．
三、解答題（共46分）
10. 如圖，在四棱錐P—ABCD中， 底面是邊長為 2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O， ,E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11. 某組合體由直三棱柱 與正三棱錐 組成，如圖所示，其中， ．它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為 +1， ， +1．
�。�1）求直線 與平面 所成角的正弦；
�。�2）在線段 上是否存在點 ，使 平面 ，若存在，確定點 的位置；若不存在，說明理由．
12. 如圖，三棱柱 中， 面 ，
, ， ， 為 的中點。
(I)求證： 面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值
參考答案
1．【解析】選A.∵點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標不變，在y軸，z軸上的坐標分別變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（-3,-1,4）.
2．【解析】選B.以A為坐標原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG
∵FG是△PAD的中衛(wèi)縣 ，∴FG ，
在菱形ABCD中，AD BC，又E為BC的中點，
∴CE FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG
又EF 面PCD，CG 面PCD，
∴EF∥面PCD
�。�2）法1：以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為 、 、 軸建立如
圖所示的空間直角坐標系。
則0（0，0，0），A（0， ，0），B（1，0，0） （0，0， ）
=（1， ，0） =（0， ， ）
設(shè)面ABP的發(fā)向量為 ，則
，即 即
取
又 ， ，
∴OA⊥面PBD，∴ 為面PBD的發(fā)向量，
∴ =（0， ，0）
所以所求二面角的余弦值為
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC 面ABCD，
∴AC⊥OP，OP BD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，過O作ON⊥PB，連AN，PB⊥面AON，則AN⊥PB。
即∠ANO為所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
∴cos∠ 。
所以所求二面角的余弦值為
11．【解析】
12．解：（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，
∵D為 AC中點 ∴OD∥B1A
又B1A 平面BDC1，OD 平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
�。�2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC 則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸， 所在直線為 軸建立空間直角坐標系 則C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)
∴設(shè)平面 的法向量為 由 得
，取 ， 則
又平面BDC的法向量為
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值為
【備課資源】
1.已知兩條異面直線a、b所成的角為40°，直線l與a、b所成的角都等于θ，則θ的取值范圍是( )
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】選A.
取空間任一點O，將直線a,b,l平移到過O點后分別為a′,b′,l′，則l′與a′,b′所成的角即為l與a,b所成的角.當l′與a′,b′共面時θ最小為20°.當l′與a′,b′確定的平面垂直時，θ最大為90°.故θ的取值范圍為［20°,90°］.
3.如圖甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠DAB= ,點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形 ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙).
(1)求證：AB∥平面DNC；
(2)當DN的長為何值時，二面角D-BC-N的大小為30°？
2016高考數(shù)學(xué)核心考點復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)
第23時 復(fù)數(shù)
1．(2011年福建)i是虛數(shù)單位，若集合S＝－1，0，1，則( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.2i ∈S
2．(201 1年全國)復(fù)數(shù)z＝2－i2＋i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2011年江西)若(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，x、y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．(2011年江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i (z＋1)＝－3＋2i(i是虛數(shù)單位)，則z的實部是________．
5．若將復(fù)數(shù)1＋i1－i表示為a＋bi(a、b∈R，i是虛數(shù)單位)的形式，則a＋b＝________.
6．(2011年全國)復(fù)數(shù)2＋i1－2i的共軛復(fù)數(shù)是 ( )
A．－35i B.35i C．－i D．i
7．(2011年安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1＋ai2－i為純虛數(shù)，則實數(shù)a為( )
A．2 B．－2 C．－12 D.12
8．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2＋3i－3＋2i的虛部是( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
9．(2011年浙江)把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作 z－，i為虛數(shù)單位，若z＝1＋i，則(1＋z) z－＝( )
A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3
10．如果一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)z＝(1＋ai)i為“等部復(fù)數(shù)”，則實數(shù)a的值為________．
11．(2011年浙江) 把復(fù) 數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作z－，i為虛數(shù)單位，若z＝1＋i，則1＋zz－_______.
12．(2011年上海)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的 虛部為2，z1z2是實 數(shù)，求z2.
2016屆高考數(shù)學(xué)直線的方程復(fù)習(xí)教學(xué)案
鹽城市峰中學(xué)美術(shù)生高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)案
20直線的方程
【考點及要求】：
1.掌握直線方程的各種形式，并會靈活的應(yīng)用于求直線的方程.
2.理解直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系, 理解兩點間的距離和點到直線的距離.
【基礎(chǔ)知識】：
1.直線方程的五種形式
名稱方程適用范圍
點斜式不含直線x=x1
斜截式不含垂直于x=軸的直線
兩點式不含直線x=x1(x1≠x2)和直線y=y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
2.兩條直線平行與垂直的判定
3.點A 、B 間的距離： = .
4.點P 到直線 ：Ax+Bx+C=0的距離：d= .
【基本訓(xùn)練】：
1.過點 且斜率為2的直線方程為 , 過點 且斜率為2的直線方程
為 , 過點 和 的直線方程為 , 過點 和
的直線方程為 .
2.過點 且與直線 平行的直線方程為 .
3.點 和 的距離為 .
4.若原點到直線 的距離為 ,則 .
【典型例題講練】
例1.一條直線經(jīng)過點 ,且在兩坐標軸上的截距和是6,求該直線的方程.
練習(xí).直線 與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1,求 的取值范圍.
例2.已知直線 與 互相垂直,垂足為 ,求
的值.
練習(xí).求過點 且與原點距離最大的直線方程.
【堂小結(jié)】
【堂檢測】
1.直線 過定點 .
2.過點 ,且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 .
3.點 到直線 的距離不大于3,則 的取值范圍為 .
4.直線 , ,若 ,則 .
【后作業(yè)】
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