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任意角的三角函數(shù)的數(shù)學(xué)教案
【教學(xué)目標(biāo)：】
1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．
2．掌握已知角 終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）
【教學(xué)重點(diǎn)：】
任意角的三角函數(shù)的定義．
【教學(xué)難點(diǎn)：】
任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．
【教學(xué)用具：】
直尺、圓規(guī)、投影儀．
【教學(xué)步驟：】
1．設(shè)置情境
角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．
2．探索研究
�。�1）復(fù)習(xí)回憶銳角三角函數(shù)
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當(dāng)角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．
�。�2）任意角的三角函數(shù)定義
如圖1，設(shè) 是任意角， 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，當(dāng)角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點(diǎn)的距離為 ，則 ．
定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．
�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．
圖1
③比值 叫做 的正切，記作 ，即 ．
同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件
提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點(diǎn)在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？
利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點(diǎn)在角 的終邊上的位置無關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．
請同學(xué)們觀察當(dāng) 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點(diǎn) 的橫坐標(biāo) 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換，那么得到另外三個定義．
�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．
�、荼戎� 叫做 的正割，記作 ，則 ．
�、薇戎� 叫做 的余割，記作 ，則 ．
可以看出：當(dāng) 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標(biāo) 都等于0，所以 與 的值不存在，當(dāng) 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實(shí)數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．
�。�3）三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)
對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應(yīng)的比值各是一個確定的實(shí)數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當(dāng)采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實(shí)數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．
即：實(shí)數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)）→三角函數(shù)值（實(shí)數(shù)）
�。�4）三角函數(shù)的一種幾何表示
利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．
圖3
設(shè)任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，始邊與 軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn) ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點(diǎn) 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設(shè)它與角 的終邊（當(dāng) 為第一、四象限時）或其反向延長線（當(dāng) 為第二、三象限時）相交于 ，當(dāng)角 的終邊不在坐標(biāo)軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：
這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當(dāng)角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點(diǎn)；當(dāng)角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點(diǎn)，正切線不存在．
�。�5）例題講評
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