如何突破數(shù)學(xué)真假命題

　　導(dǎo)語：真假命題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力，下面是如何突破數(shù)學(xué)真假命題，歡迎參考!

　　一、 定位整體

　　新課程標(biāo)準(zhǔn)對“常用邏輯用語”的定位為:“正確使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確的運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自己的思想.在本模塊中，同學(xué)們將在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流.” 因此，學(xué)習(xí)邏輯用語，不僅要了解數(shù)理邏輯的有關(guān)知識，還要體會邏輯用語在表述或論證中的作用，使以后的`論證和表述更加準(zhǔn)確、清晰和簡潔.

　　二、 明確重點(diǎn)

　　“常用邏輯用語”分成三大節(jié)，分別為：命題及其關(guān)系，簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞，全稱量詞與存在量詞.

　　“命題及其關(guān)系”分兩小節(jié)：一、“四種命題”，此節(jié)重點(diǎn)在于四種命題形式及其關(guān)系，互為逆否命題的等價(jià)性;二、“充分條件和必要條件”，此節(jié)重點(diǎn)在于充分條件、必要條件、充要條件的準(zhǔn)確理解以及正確判斷.

　　“簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞”重點(diǎn)在于“且”、 “或”、 “非”這三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解和應(yīng)用.

　　“全稱量詞與存在量詞”重點(diǎn)在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個(gè)量詞的命題的否定.

　　三、 突破難點(diǎn)

　　1. “四種命題”的難點(diǎn)在于分清命題的條件和結(jié)論以及判斷命題的真假

　　例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

　　(1) 全等三角形的面積相等;

　　(2) m>時(shí)，方程mx2-x+1=0無實(shí)根;

　　(3) 若sinα≠，則α≠30°.

　　解析 (1) 條件為兩個(gè)三角形全等，結(jié)論為它們的面積相等.因此，原命題即為“若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個(gè)三角形面積相等，則它們?nèi)�等”，否命題為“若兩個(gè)三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個(gè)三角形面積不相等，則它們不全等”.根據(jù)平面幾何知識，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　　(2) 原命題即為“若m>，則方程mx2-x+1=0無實(shí)根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實(shí)根，則m>”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實(shí)根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實(shí)根，則m≤”.根據(jù)判別式Δ=1-4m的正負(fù)可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.

　　(3) 原命題即為“若sinα≠，則α≠30°”，逆命題為“若α≠30°，則sinα≠”，否命題為“若sinα=，則α=30°”，逆否命題為“若α=30°，則sinα=”.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)，因此可以先考慮逆否命題和否命題;由三角函數(shù)的知識，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

　　突破 對于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結(jié)論，然后根據(jù)相應(yīng)的知識進(jìn)行判斷，當(dāng)原命題不容易直接判斷時(shí)，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.

　　2. “充分條件和必要條件”的難點(diǎn)在于充要性的判斷

　　例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件.(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種)

　　(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根.

　　(2) p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q：c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　(3) 設(shè)集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p：x∈M∩N;q:x∈M∪N.

　　解析 (1) 當(dāng)|p|≥2時(shí)，例如p=3，此時(shí)方程x2+px+p+3=0無實(shí)根，因此“若p則q”為假命題;當(dāng)方程x2+px+p+3=0有實(shí)根時(shí)，根據(jù)判別式有p≤-2或p≥6，此時(shí)|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.

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