高中數(shù)學(xué)立體幾何學(xué)習(xí)方法有哪些？
高中數(shù)學(xué)立體幾何學(xué)習(xí)方法有哪些？
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸結(jié)到一點(diǎn)就是要多做題。你可能現(xiàn)在覺得添加一兩條輔助線是太具有創(chuàng)造性了，有點(diǎn)想不到的感覺，但是等你經(jīng)過了大量的練習(xí)以后，你會(huì)覺得原來那些輔助線的添加其實(shí)很有邏輯，并不是不可觸及的。哲學(xué)上這個(gè)過程叫做量變引起質(zhì)變，你若想你的幾何水平有一個(gè)質(zhì)的提高，能夠解出原來認(rèn)為很不可思意的題，你就必須在量上下功夫，通過量的積累才能達(dá)到質(zhì)的飛躍…祝你成功!
平面
平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說明共點(diǎn)、共線、共面問題。
(1).證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)(依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi))，這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。
(2).證明共點(diǎn)問題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。
(3).證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合
空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
一. 本周教學(xué)內(nèi)容：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
二. 重點(diǎn)：
1. 公理一：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在平面內(nèi)。
2. 公理二：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
3. 公理三：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。
4. 公理四：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
5. 兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面
6. 直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、相交、平行
7. 平面與平面的位置關(guān)系：相交、平行
【典型例題
[例1] 下列結(jié)論中正確的有（ ）個(gè)
（1）過空間三點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)
�。�2）過空間一條直線和直線外一點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)
（3）過空間兩條相交直線的平面有且只有一個(gè)
�。�4）過空間兩條平行直線的平面有且只有一個(gè)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
解析：（2）（3）（4）正確。
[例2]（1）空間三條直線兩兩相交可確定幾個(gè)平面？
�。�2）空間四條平行直線可確定幾個(gè)平面？
�。�3）空間一條直線和直線外三點(diǎn)，可確定幾個(gè)平面？
答案：
（1）1個(gè)或3個(gè)
�。�2）1個(gè)，4個(gè)或6個(gè)
（3）1個(gè)，3個(gè)或4個(gè)
[例3] 外三邊所在直線分別交平面
∴ 中E、F為AA1、CC1中點(diǎn)，求證：
證明：延長 交AD于M，延長 交DC于N
E為A1A中點(diǎn) ∴ MA=AD
同理CN=CD
∴ M、N、B三點(diǎn)共線
∴ 三點(diǎn)確定平面
∴
[例5] 空間不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，求證四線共面。
證明：
�。�1）有三線共點(diǎn)，如圖
A、B、D確定平面 同理
�。�2）無三點(diǎn)共線，如圖
A、D、F三點(diǎn)確定平面
[例6] 已知
證明：D為 上一點(diǎn)
確定平面 同理A、C、D
證： EHFG
互相平分 MN過EF中點(diǎn)
∴ EF、GH、MN交于一點(diǎn)且互相平分
[例8] 正方體 成異面關(guān)系的棱有 條；
�。�3）與BD成異面關(guān)系的棱有 條；
�。�4）12條棱中異面直線有 對(duì)。
解：（1）4條 （2）6條 （3）6條 （4）24對(duì)
[例9] 空間四邊形ABCD（A、B、C、D不共面）E、M為AD的三分點(diǎn)，F(xiàn)、N為BC的三分點(diǎn)，由AB、EF、MN、CD可組成 對(duì)異面直線。
答案：六對(duì)，任意兩條均異面
證明：EF、MN異面（反證法）
假設(shè)EF、MN共面
∴ A、B、C、D 與已知矛盾 ∴ 假設(shè)不成立 ∴ 原命題成立
∴ EF、MN為異面直線
[例10] 正方體
解：
�。�1）
�。�3） ∴
∵ 正 ∴ 異面， B. D. 2MN與AC BD無法比較
3. 與兩條異面直線均相交的兩條直線的位置關(guān)系為 。
4. ，則 ，求證 所在平面外一點(diǎn)， ，D、E、F依次為 、 的重心，求 的面積。
【答案】
1. 平行或相交或異面
2. B
3. 相交或異面
4. 平行或相交或異面
5. ∵ ∴ 沒有公共點(diǎn) ∵ ∴ 與 無公共點(diǎn)
6. 連PD延長交AB于M，連PE延長交BC于N，連結(jié)MN
同理 相似比為
數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)四步走 避免“高山反應(yīng)”
以綱為準(zhǔn)則，把握方向
《大綱》是編寫教科書和進(jìn)行教學(xué)的主要依據(jù)，而《說明》就是對(duì)考什么、考多難、怎樣考這3個(gè)問題的具體規(guī)定和解說。作為河南省新課改首批畢業(yè)生，今年參加的同學(xué)更應(yīng)該關(guān)注《大綱》與《考試說明》，與去年的《考試大綱》與《考試說明》仔細(xì)比對(duì)后不難發(fā)現(xiàn)，除了新增內(nèi)容外，每一章節(jié)的要求都有不同程度的變化，如：函數(shù)部分對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的要求更加詳盡，對(duì)函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用的要求也更具體，解析幾何中雙曲線、拋物線的要求降低，立體幾何對(duì)文科考生也降低了要求，概率與統(tǒng)計(jì)考試方向也有變化等。希望與考生關(guān)注《考試大綱》與《考試說明》，在最后的幾十天，抽時(shí)間按照考綱的要求將點(diǎn)過一遍，做到心中有數(shù);同時(shí)因?yàn)榻衲瓴捎脤幭暮Ｄ暇砟Ｊ�，希望考生關(guān)注這兩省的模擬。
重視新增內(nèi)容的
一定要重視新增內(nèi)容的復(fù)習(xí)，特別是程序框圖、三視圖與直觀圖、幾何概型的概率的計(jì)算、莖葉圖、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、全稱命題和特稱命題的否定、定積分等已成為近年來高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。從這幾年的新課改區(qū)的考試情況看，新增內(nèi)容越來越多，有的有40多分。但難度都不大，希望同學(xué)們?nèi)磕孟滦略鰞?nèi)容。同時(shí)，由于內(nèi)容增加，題型結(jié)構(gòu)已經(jīng)改變，六道解答題的結(jié)構(gòu)也已經(jīng)改變，同學(xué)們更要關(guān)注在知識(shí)的交會(huì)點(diǎn)出題。如三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，概率與統(tǒng)計(jì)等。
及時(shí)反思與總結(jié)，完善自我
進(jìn)入5月，基本已進(jìn)入全面模擬階段，如何正確對(duì)待模擬考試，避免“高山反應(yīng)”，全面提升自己，是每個(gè)學(xué)子必做的功課。
●積極的心態(tài)，良好的狀態(tài)，全身心投入
最后的階段，練習(xí)是糾錯(cuò)與反思、鞏固與提高的有效途徑，希望同學(xué)們能夠以積極的心態(tài)，良好的狀態(tài)，全身心投入。尤其不要急躁，靜下心來認(rèn)真解決問題。人生最美的境界是在靜心中達(dá)到的，最大的困惑也是在靜心中解決的。
●積極進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練 學(xué)會(huì)以考促考
要想取得好成績，速度和準(zhǔn)確度都要確保。限時(shí)訓(xùn)練是在有效時(shí)間內(nèi)取得有效結(jié)果的有效。因此，我們要充分利用平時(shí)的考試，要從平時(shí)的考試中積累考試經(jīng)驗(yàn)，從、時(shí)間的分配、節(jié)奏的掌握以及整個(gè)考試的設(shè)計(jì)等各方面不斷調(diào)試，逐步做到把平時(shí)當(dāng)高考，把高考當(dāng)平時(shí)，以期達(dá)到自己的最佳水平。
●及時(shí)反思與總結(jié)
后期的模擬關(guān)鍵在質(zhì)量，質(zhì)量的關(guān)鍵在糾錯(cuò)與反思。每次考試結(jié)束發(fā)下來，要認(rèn)真將中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分類。如：遺憾之錯(cuò)就是分明會(huì)做，反而做錯(cuò)了的題;是非之錯(cuò)得不準(zhǔn)確，理解得不夠透徹，應(yīng)用得不夠自如。此外還有回答不嚴(yán)密、不完整等,或者根本就不會(huì)，要找準(zhǔn)原因。不要苛求沒有遺憾，只要遺憾最少就是勝利。
淡定看待一切，從容應(yīng)對(duì)
某種程度上講，高考打的既是知識(shí)戰(zhàn)，也是心理戰(zhàn)，是一場沒有硝煙的戰(zhàn)爭，要想打贏這場戰(zhàn)爭，就必須有良好的心理狀態(tài)和冷靜的頭腦。面對(duì)考試，有的同學(xué)能泰然自若 高中物理，發(fā)揮出自己最佳的水平，有的同學(xué)則高度緊張，發(fā)揮失常，沒有考出真實(shí)的成績。在這最后的幾十天，各位都會(huì)不遺余力地想出各種方法幫減壓，但我想說的是，最關(guān)鍵的還是看自己。米盧教練曾說過一句名言：“態(tài)度決定一切�！蔽矣X得，態(tài)度由想法來決定，如何看待高考，將決定你的做法。高考不是生活的`全部，淡定看待一切，從容應(yīng)對(duì)。尤其是學(xué)科薄弱或成績不穩(wěn)定的，一定要正確定位，抓好基本題、中等題、常規(guī)題的得分，學(xué)會(huì)取舍，不要苛求自己達(dá)到完美，只要做到自我潛能的最佳發(fā)揮即可。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其實(shí)就是學(xué)習(xí)解題
我們知道+需要通過來循序漸進(jìn)地提高自己的。有的同學(xué)簡單地把理解為做大量的題目，也有的同學(xué)認(rèn)為就是、背誦課本中的有關(guān)概念、定理、公式等�？梢�，許多同學(xué)對(duì)復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí)還存在誤區(qū)：沒有真正認(rèn)識(shí)到學(xué)科的特點(diǎn)，在復(fù)習(xí)上沒有和其他學(xué)科區(qū)別開來。
數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題。搞題海戰(zhàn)術(shù)的方式、方法固然是不對(duì)的，但離開解題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣也是錯(cuò)誤的。其中的關(guān)鍵在于對(duì)待題目的態(tài)度和處理解題的方式上。
1、首先是精選題目，做到少而精。
只有解決質(zhì)量高的、有代表性的題目才能達(dá)到事半功倍的效果。然而絕大多數(shù)的同學(xué)還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在的指導(dǎo)下來選擇復(fù)習(xí)的練習(xí)題，以了解題的形式、難度。
2、其次是分析題目。
解答任何一個(gè)數(shù)學(xué)題目之前，都要先進(jìn)行分析。相對(duì)于比較難的題目，分析更顯得尤為重要。我們知道，解決數(shù)學(xué)問題實(shí)際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異。當(dāng)然在這個(gè)過程中也反映出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)掌握的熟練程度、理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一后就可以解決問題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關(guān)鍵。
3、最后，題目總結(jié)。
解題不是目的，我們是通過解題來檢驗(yàn)我們的學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的不足的，以便改進(jìn)和提高。因此，解題后的總結(jié)至關(guān)重要，這正是我們學(xué)習(xí)的大好機(jī)會(huì)。對(duì)于一道完成的題目，有以下幾個(gè)方面需要總結(jié)：
�、僭谥R(shí)方面，題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，在解題過程中是如何應(yīng)用這些知識(shí)的。
�、谠诜椒ǚ矫妫喝绾稳胧值�，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應(yīng)用。
③能不能把解題過程概括、歸納成幾個(gè)步驟（比如用數(shù)學(xué)歸納法證明題目就有很明顯的三個(gè)步驟）。
�、苣懿荒軞w納出題目的類型，進(jìn)而掌握這類題目的解題通法（我們反對(duì)老師把現(xiàn)成的題目類型給，讓拿著題目套類型，但我們鼓勵(lì)自己總結(jié)、歸納題目類型）。
高一數(shù)學(xué)《兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)》教案
3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
一、目標(biāo):
與技能：會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)判斷兩直線的位置關(guān)系。
過程與：通過兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及判斷兩直線位置的。掌握數(shù)形結(jié)合的。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過兩直線交點(diǎn)和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)在的聯(lián)系。能夠用辯證的觀點(diǎn)看問題。
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
學(xué)習(xí)重點(diǎn): 判斷兩直線是否相交，求交點(diǎn)坐標(biāo)。
學(xué)習(xí)難點(diǎn): 兩直線相交與二元一次方程的關(guān)系。
三、使用說明及學(xué)法指導(dǎo):
1、先閱讀教材102—103頁，然后仔細(xì)審題，認(rèn)真思考、獨(dú)立規(guī)范作答。2、、把學(xué)案中自己易忘、易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)和疑難問題以及解題方法規(guī)律，及時(shí)整理在解題本，多。（會(huì)解二元一次方程組）3、A:自主學(xué)習(xí)；B:合作探究；C：提升4、小班、重點(diǎn)班完成全部，平行班至少完成A.B類題。平行班的A級(jí)完成80％以上B完成70％～80％C力爭完成60％以上。
四、知識(shí)鏈接：1．直線方程有哪幾種形式？
2．平面內(nèi)兩條直線有什么位置關(guān)系？空間里呢？
五、學(xué)習(xí)過程：自主探究
(一) 交點(diǎn)坐標(biāo)：
A問題1已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0如何求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)呢？
A例1、求下列兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：l1：3x＋4y－2＝0 l2：2x＋y＋2＝0
A例2：求經(jīng)過原點(diǎn)且經(jīng)過以下兩條直線的交點(diǎn)的直線方程:
l1：x－2y+2=0， l2：2x－y－2=0.
合作交流：C例3：求直線3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并證明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ為任意常數(shù)）表示過M點(diǎn)的所有直線（不包括直線2x－3y－5=0）。
A1x＋B1y＋C1+λ（A2x＋B2y＋C2）=0是過直A1x＋B1y＋C1=0和A2x＋B2y＋C2=0交點(diǎn)的直線系方程。
(二)利用二元一次方程組的解討論平面上兩條直線的位置關(guān)系
B問題2已知方程組 A1x＋B1y＋C1=0 （1）
A2x＋B2y＋C2= 0 （2）
當(dāng)A1，A2，B1，B2全不為零時(shí)，方程組的解的各種情況分別對(duì)應(yīng)的兩條直線的什么位置關(guān)系？
B例4、判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
�。�1）l1：x－y＝0， l2：3x＋3y－10＝0
（2）l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y＝0
�。�3）l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0
六、達(dá)標(biāo)檢測
A1.教材109頁習(xí)題3.3A組1,高中政治,2,3
B 2. 光線從M（-2，3）射到x軸上的一點(diǎn)P（1，0）后被x軸反射，求反射光線所在的直線方程。
B3求經(jīng)過兩條直線x+2y－1=0和2x－y－7=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y－5=0的直線方程
七、小結(jié)與反思：會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)判斷兩直線的位置關(guān)系
【金玉良言】臨淵羨魚不如退而結(jié)網(wǎng)。
《2.1 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》測試題
一、選擇題
1.(2011四川)，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( ).
A.⊥，⊥?∥ B.⊥，∥?⊥
C.∥∥?，，共面 D.，，共點(diǎn)?，，共面
考查目的：考查空間中直線與直線的位置關(guān)系及有關(guān)性質(zhì).
答案：B.
解析：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線有可能相交或異面，故A錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò).
2.若三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成( ).
A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
考查目的：考查空間平面的位置關(guān)系和空間想象能力.
答案：C.
解析：如圖所示，三個(gè)平面，，兩兩相交，交線分別是，，，且∥∥.觀察圖形，可得，，把空間分成7部分.
3.(2010重慶文)到兩條互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)( ).
A.只有1個(gè) B.恰有3個(gè) C.恰有4個(gè) D.有無窮多個(gè)
考查目的：考查異面直線的概念、性質(zhì)和空間想象能力 高二.
答案：D.
解析：可以將異面直線放在正方體中研究，顯然，線段、EF、FG、GH、HE的中點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、CD的距離都相等，所以排除A、B、C，選D.也可以在四條側(cè)棱上找到四個(gè)點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、CD的距離相等.
二、填空題
4.(2010江西改編)過正方體的頂點(diǎn)A作直線，使與棱AB，AD，所成的角都相等，這樣的直線可以作_______.
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
考查目的：考查空間直線所成的角概念與求法.
答案：8.
解析：如圖，連結(jié)體對(duì)角線，顯然與棱AB、AD，所成的角都相等，所成角的正切值都為.聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線，如連結(jié)，則與棱BC、BA、所成的角都相等，∵∥，BC∥AD，∴體對(duì)角線與棱AB、AD、所成的角都相等，同理，體對(duì)角線、也與棱AB、AD、所成的角都相等，過A點(diǎn)分別作、、的平行線都滿足題意，故這樣的直線可以作4條.
5.正方體中，P、Q、R分別是AB、AD、的中點(diǎn)，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是 .
考查目的：考查空間幾何的公理３，判斷空間點(diǎn)線的共面關(guān)系.
答案：六邊形.
解析：如圖，作RG∥PQ交于G，連接QP并延長與CB交于M，連接MR交于E，連接PE、RE為截面的部分外形．同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交于F，連接QF，F(xiàn)G，∴截面為六邊形PQFGRE.
6.(2012安徽文)若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，，，則____________(寫出所有正確結(jié)論編號(hào)).
�、偎拿骟w每組對(duì)棱相互垂直
�、谒拿骟w每個(gè)面的面積相等
③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于
�、苓B接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互垂直平分
�、輳乃拿骟w每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長
考查目的：考查空間直線與直線的位置關(guān)系.
答案：②④⑤.
解析：①連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形；②四面體每個(gè)面是全等三角形，面積相等； ③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于； ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，菱形對(duì)角線垂直平分；⑤連結(jié)四面體棱的中點(diǎn)可得，該三角形三邊分別等于長度的一半.
三、解答題
7.正方體中，E、F分別是AB和的中點(diǎn)．求證：
⑴E，C，，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
�、艭E，，DA三線共點(diǎn).
考查目的：考查空間幾何公理，會(huì)證明共線、共面問題.
解析：⑴如圖，連接EF，，.∵E、F分別是AB、的中點(diǎn)，∴EF∥.又∵∥，∴EF∥，∴E、C、、F四點(diǎn)共面.
�、啤逧F∥，EF＜，∴CE與必相交.設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面.又∵平面ABCD∩平面＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、、DA三線共點(diǎn).
8.A是△BCD平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn).
�、徘笞C：直線EF與BD是異面直線；
�、迫鬉C⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角.
考查目的：考查異面直線的判定，求異面直線所成角的基本方法.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾，故直線EF與BD是異面直線. ⑵如圖，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的，即等于異面直線EF與BD所成的角.同理即為異面直線AC和BD所成的角，又∵AC⊥BD，∴為直角，在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝，即異面直線EF與BD所成的角為.
女主人
四位女士在玩一種紙牌游戲，其規(guī)則是：（a）在每一圈中，某方首先出一張牌，其余各方就要按這張先手牌的花色出牌（如果手中沒有這種花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的獲勝者即取得下一圈的首先出牌權(quán)�，F(xiàn)在她們已經(jīng)打了十圈，還要打三圈。
（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。
�。�2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。
�。�3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。
�。�4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）
（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。
�。�6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。
這四位女士中，誰是女主人？
�。ㄌ崾荆耗姆N花色是王牌？誰在第二十圈出了王牌？）
答 案
梅花不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（l）和（4），阿爾瑪在最后三圈中將不止一次地?fù)碛惺紫瘸雠茩?quán)，而這與{（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。}矛盾。紅心不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（2）和（4），女主人在最后三圈中將不止一次地獲勝，而這與{（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。}矛盾。
根據(jù){（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。}，沒有人跟著阿爾瑪出梅花，這表明其他人都沒有梅花；可是根據(jù){（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）}，每一圈中都有梅花出現(xiàn)，從而打最后三圈時(shí)阿爾瑪手中必定是三張梅花。由于最后三圈都是憑王牌獲勝，而且梅花不是王牌，所以阿爾瑪沒有一圈獲勝。根據(jù)（5），其他三人各勝一圈，所以其他三人各有一張王牌。
黑桃不會(huì)是王牌，否則，沒有一個(gè)人能有三張紅牌，而這與{（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。}矛盾。
因此方塊是王牌。
于是根據(jù)（1），貝絲在第十一圈獲勝，并且取得了第十二圈的首先出牌權(quán)。
根據(jù){（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。}，女主人在第十二圈獲勝（用王牌方塊），并且接著在第十三圈首先出了紅心。因此，根據(jù)（4），紅心不是第十二圈的先手牌花色。
方塊不能是第十二圈的先手牌花色，否則貝絲將不止一次地獲勝，而這與（5）矛盾（貝絲已經(jīng)在第十一圈獲勝，根據(jù)（4），如果在第十二圈她首先出方塊，那她還要在這一圈獲勝）。
梅花不能是第十二圈的先手牌花色，因?yàn)樗械拿坊ǘ荚诎柆數(shù)氖种?高中歷史，而根據(jù)（3），在最后三圈中阿爾瑪首先出牌只有一次（根據(jù)（l），是在第十一圈）。
因此，黑桃是第十二圈的先手牌花色。這張牌是貝絲出的。根據(jù)以上所知的每位女士所出花色的情況，可以列成下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
第十三圈：
梅花
既然貝絲在第十二圈首先出的是黑桃，那么根據(jù)（5），在這一圈出方塊（王牌）的不是克利奧就是黛娜。根據(jù)（2），如果是克利奧出了方塊，則她一定是女主人。但是根據(jù)（6），女主人的搭檔有三張紅牌，而除克利奧之外，其他人都不可能是女主人的搭擋(阿爾瑪手中全是梅花，貝絲在第十二圈首先出了黑桃，黛那在第十一圈出了黑桃，說明這三人在最后三圈時(shí)手中都有黑牌。)因此，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，克利奧沒有出方塊（王牌）。
于是，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，一定是黛娜出了方塊（王牌）。從而根據(jù)（2），女主人一定是黛娜。
分析可以繼續(xù)進(jìn)行下去。根據(jù)（2），黛娜在第十三圈首先出了紅心。于是上表可補(bǔ)充成為：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
紅心（先出）
于是根據(jù)（4），克利奧在第十二圈出了紅心。根據(jù)（5），克利奧在第十三圈出了方塊（王牌）。再根據(jù)（4），貝絲在第十三圈出了黑桃。完整的情況如下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
紅心
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
黑桃
方塊（獲勝）
紅心（先出）
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