大二高等數(shù)學的小竅門
無論你做什么事，一開始時不要被唱反調(diào)的人把信心擊潰。下面是小編為大家整理的大二高等數(shù)學的小竅門，歡迎參考~
大二高等數(shù)學的小竅門
一、《高等數(shù)學》的特點
高等數(shù)學是變量的數(shù)學, 它是研究運動、研究無限過程、研究高維空間、研究多因素的作用。從觀點到方法都和初等數(shù)學有著本質(zhì)的差異。要想學習好《高等數(shù)學》, 必須搞清《高等數(shù)學》的特點。
1.常量與變量高等數(shù)學能深刻體現(xiàn)“�！焙汀白儭被ハ噢D(zhuǎn)化的觀點。例如在求曲線的弧長, 先視“�！睘椤白儭�( 把弧長看成折線長的極限) , 再通過“變”( 極限過程) 達到“�！�( 求得弧的確定長度) 。這是初等 數(shù)學辦不到的。
2.直與曲高等數(shù)學把直線和平面作為曲線和曲面的特例, 并認為在一定條件下“直”與“曲”可以互相轉(zhuǎn)化。例如, 利用弧微分“以直代曲”, 通過積分又把“直轉(zhuǎn)化為曲”。
3.有限與無限運用分析運算(無限運算)———極限, 這是高等數(shù)學的重要特點, 而初等數(shù)學只能進行有限次運算, 有限與無限通過極限方法實現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化。例如函數(shù)展成無窮級數(shù)。
4. 特殊與一般從初等數(shù)學到高等數(shù)學意味著從特殊到一般的過渡。
5.具體與抽象抽象性是數(shù)學的本質(zhì)特征之一, 高等數(shù)學更加抽象, 結(jié)果更加深刻。
由上可知, 高等數(shù)學有兩個顯著的特征: 一是內(nèi)容相當豐富; 二是理論體系中結(jié)構(gòu)復雜、層次繁多。為此, 學習高等數(shù)學不能停留在書本上的機械學習, 而要用較高的觀點, 系統(tǒng)、全面和有重點地去掌握其基本理論; 要融會貫通、綜合運用。另外高等數(shù)學的知識的展開是由簡單到復雜, 由個別到一般, 由基礎性概念到抽象性更高的一般性概念的一環(huán)套一環(huán)地發(fā)展著的。所以, 只有對其知識的系統(tǒng)的挖掘與刨析, 才能更好地找到學習的'方法。
二、學習《高等數(shù)學》的方法
學習是知識的積累、加工和運用, 學習高等數(shù)學一般要經(jīng)過初學-精學-實踐三個不同的階段。處學階段是基礎階段, 在這個階段里, 主要是通過教學( 自學) 獲得片斷的、零散的知識; 要將高等數(shù)學各節(jié)中的基本概念、定理內(nèi)容及其論證, 例題、習題一點點搞懂, 在理解的基礎上加以記憶。精學階段是復習、整理、加工階段, 分析、總結(jié)這個階段的重要任務。它是在初學階段的升華, 要掌握知識
的關鍵是要揭示理論結(jié)構(gòu)與內(nèi)在層次, 學會用語言直接闡述, 了解每一部分內(nèi)容在整體中的地位和作用; 抓住實質(zhì)與內(nèi)在的聯(lián)系; 并從豐富的內(nèi)容中, 理出它們之間的聯(lián)系, 只有這樣才能真正掌握知識, 形成牢固的記憶, 培養(yǎng)技能與技巧。實踐階段主要是指通過學習后的科研與應用實踐, 是學習過程的后續(xù), 是再學習、再認識的階段。在精學階段中的好壞將直接影響到本階段的工作效果。從方法上我們提倡瀏覽———研讀———復述———溫習的學習方法,真正把高等數(shù)學學習到手, 關鍵是狠抓基本理論和基本技能, 對于高等數(shù)學學習的具體方法是:
⒈接收信息大學課堂教學進度快、內(nèi)容多, 應該先預習, 邊看書邊動手演算推導, 看看自己哪些懂了哪些不懂, 知己知彼, 帶著問題有目的地聽課, 適當作些筆記, 簡要記下重點、關鍵、思路、補充材料和自己的體會。
�、踩绾蜗牧弦揽款^腦這個加工廠改造制作, 溫故知新, 由此及彼, 由表及里。要經(jīng)歷一個把書本由薄變厚( 發(fā)揮) , 再由厚變薄( 歸納) 的過程, 這是要下苦功夫的。
(1)掌握基本概念數(shù)學講究邏輯思維, 而邏輯思維無非是( 在感性認識的基礎上) 抽象出概念, 運用概念進行判斷、作出推理。所以, 概念是思維的基本元素, 數(shù)學水平的高低在很大程度上取決于對數(shù)學概念理解的深度。這一點往往為初學者所忽視。由于數(shù)學概念比普通概念更抽象。而我們又是從書本上接受這些概念, 缺乏直接經(jīng)驗, 這種先天不足更待后天彌補。學習數(shù)學概念一定得反復揣摩, 如極限概念, 先要有樸素的領悟( 趨近) , 再到嚴格的敘述( “ε- N”、“ε- δ”語言) , 才能逐步確切理解。
(2)善用數(shù)學語言普通思維靠詞語, 數(shù)學思維靠符號語言, 它簡明準確、自成體系。高等數(shù)學符號繁多, 含意豐富深刻。我們對兩種語言必須能互譯、運用自如。很多數(shù)學語言是以“構(gòu)件”形式反復出現(xiàn)的,如運算符號、演算公式, 以及程式化的論證( 如數(shù)學歸納法) 、模式化的陳述( 如“ε- δ”語言、“充要條件”) 、格式化的列表( 如函數(shù)作圖時按一定程序制表) 等等。用時要熟練地“裝配”起來。
(3)搞清來龍去脈要將知識系統(tǒng)化, 由點到線到面, 就要串成鏈,織成網(wǎng)。具體做法如下:
�、倮砻}絡如極限方法貫穿于微積分的始終, 其它主要概念( 如導數(shù)、積分等) 的建立; 主要問題的解決都依賴于它, 這條線索要理清楚。
�、诘旎缰匾獦O限limx→0(1+x)1x 的存在問題是微積分的基石之一, 可仔細體味。
�、劢ㄅ_階如定積分、重積分、曲線、曲面積分等, 都是和式的極限, 但又層層深入和提高。
�、軜浯罅喝缦蛄糠椒ㄔ诳臻g解析幾何中是主干, 由它導出直線、平面等一系列公式和性質(zhì)。
⑤作比較如函數(shù)的連續(xù)性, 在開區(qū)間和閉區(qū)間上的結(jié)論就不同。
�、迺貜V如空間解析幾何是平面解析幾何的拓廣, 多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的拓廣, 要論清在哪些地方是怎樣拓廣的。
�、甙盐仗乩缌_爾定理、拉格朗日中值定理, 都是泰勒公式的特例。
�、嘈纬芍R鏈如微分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式、積分中值定理等�？尚纬梢淮�, 成為微積分的基本定理。另為在閉區(qū)間上函數(shù)可微→連續(xù)→可積→有界的知識鏈, 反之則不成立。
�、釋W會歸納和舉反例如導數(shù)的應用, 名目繁多, 在函數(shù)作圖中將各類應用集中起來; 如連續(xù)不一定可微, 舉一反例就能說明。
�、饪棾芍R網(wǎng)如微分學與解析幾何的某些結(jié)合, 邊產(chǎn)生書中介紹的幾何初步知識( 曲率、切線、切平面、法線、法平面等) 。凡此種種, 方法多樣, 要靈活運用。
(4)幾何直觀是領悟數(shù)學最有效的渠道之一, 要善于尋找各種概念的解釋。 以上各項, 都要靠仔細解刨書本, 抓要害、求甚解。再用自己熟悉的數(shù)學語言歸納整理, 使知識系統(tǒng)化、條理化, 了如指掌。
3.如何運用所學知識
(1)解題適當多做習題, 不但提高了解題能力, 而且加深了對知識的理解。要注意積累解題途徑經(jīng)驗, 及時加以總結(jié)。具體過程如下:
①抓題型：分得清題目類型, 就能以少勝多, 成片地獲取知識。如常微分方程按型求解。
�、谡曳椒ǎ喝绶e分最常用的方法是換元法和分部, 還有很多特殊技巧。 ③掌握步驟如求最大( 小) 值的應用題, 須經(jīng)哪幾步才能得到結(jié)果, 予以總結(jié)。
�、軐ひ�(guī)律：如導數(shù)是構(gòu)造性定義的( 分三步: 求增量、算比值、取極限) , 決定了求導數(shù)可以“機械化”, 這是一般規(guī)律; 而不定積分是非構(gòu)造性定義的, 作為導數(shù)的逆運算, 無一般規(guī)律可循。但一般中又有特殊, 比如何時用法則求導、取對數(shù)求導、利用隱函數(shù)求導、利用微分形式不變性求導, 都有特殊規(guī)律。又如定積分也是構(gòu)造性定義的, 但極限過程中有兩個“無關”( 與分法無關、與中間點取法無關) , 按定義難以算出, 有了牛頓—萊布尼茲公式才與原函數(shù)掛上了鉤。再如微元分析法在定積分、微分方程的應用中是基本的一個環(huán)節(jié), 要注意所找到的△S 應該滿足△S=f(x)△x+o(△x), 否則就找錯了。解完題之后, 還應考慮有無別的解法, 并比較各種方法的優(yōu)劣、異同, 做到舉一反三。發(fā)現(xiàn)錯誤, 及時糾正,并找出錯誤的原因。有疑問要記錄下來繼續(xù)研究。
( 2) 重視聯(lián)系實際經(jīng)常考察各種數(shù)學知識的現(xiàn)實背景, 設法解決一些實際問題。
( 3) 開展研究工作, 這是更高的境界。有興趣的多看看一些研究數(shù)
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