高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法四篇
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)好高中立體幾何
【摘要】您好，這里是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)欄目，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)邏輯思維能力，分析能力的重要學(xué)科，所以小編在此為您編輯了此文：“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：學(xué)好高中立體幾何的方法”以方便您的學(xué)習(xí)，希望能給您帶來(lái)幫助。
立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學(xué)好立體幾何談幾點(diǎn)建議。 一 培養(yǎng)空間想象力 為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，動(dòng)手制作一些簡(jiǎn)單的模型用以幫助想象。例如：正方
立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學(xué)好立體幾何談幾點(diǎn)建議。
一 培養(yǎng)空間想象力
為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，動(dòng)手制作一些簡(jiǎn)單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長(zhǎng)方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過(guò)模型中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對(duì)空間圖形的想象能力和識(shí)別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫(huà)圖能力�？梢詮暮�(jiǎn)單的圖形(如：直線和平面)、簡(jiǎn)單的幾何體(如：正方體)開(kāi)始畫(huà)起。最后要做的就是樹(shù)立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫(huà)在一個(gè)平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫(huà)在平面上的“立體”圖形，想象出原來(lái)空間圖形的真實(shí)形狀�？臻g想象力并不是漫無(wú)邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會(huì)給空間想象力插上翱翔的翅膀。
二 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)
直線和平面這些內(nèi)容，是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)好這部分的一個(gè)捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內(nèi)容都很簡(jiǎn)單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的證明在出學(xué)的時(shí)候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點(diǎn)好處：
(1) 培養(yǎng)空間想象力。
(2) 得出一些解題方面的啟示。
(3) 深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。
在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時(shí)候，可以用筆、直尺、書(shū)之類(lèi)的東西搭出一個(gè)圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對(duì)后面的學(xué)習(xí)也打下了很好的基礎(chǔ)。
三 總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練
立體幾何解題過(guò)程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。對(duì)距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計(jì)算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來(lái)轉(zhuǎn)換。不斷總結(jié)，才能不斷高。
還要注重規(guī)范訓(xùn)練，高考中反映的這方面的問(wèn)題十分嚴(yán)重，不少考生對(duì)作、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯(cuò)誤，符號(hào)語(yǔ)言不會(huì)運(yùn)用等。這就要求我們?cè)谄綍r(shí)養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來(lái)講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過(guò)程等一步步把題目演算出來(lái)。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因?yàn)樗⒅剡壿嬐评�。�?duì)于即將參加高考的同學(xué)來(lái)說(shuō)，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時(shí)的每一道題開(kāi)始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來(lái)很難答出來(lái)的題，一步步寫(xiě)下來(lái)，思維也逐漸打開(kāi)了。
四 逐漸提高邏輯論證能力
三道作業(yè)題
問(wèn)題l 德國(guó)大數(shù)學(xué)家卡爾·費(fèi)里得利�！じ咚梗�1777～1855）大約在10歲的時(shí)候，老師在課堂上出了一個(gè)題目：
l+2+3+...+98+99+100＝？
正當(dāng)其他同學(xué)一個(gè)數(shù)、一個(gè)數(shù)地還沒(méi)加幾個(gè)的時(shí)候，小高斯就用簡(jiǎn)捷的方法準(zhǔn)確地算出了答案：這100個(gè)數(shù)的和是5050。
你知道小高斯是怎么算的嗎？
問(wèn)題2 一天，愛(ài)迪生在實(shí)驗(yàn)室里工作，他遞給助手一個(gè)沒(méi)上燈口的空玻璃燈泡，并說(shuō)：“你量一量燈泡的容量�！闭f(shuō)罷又埋頭工作了。
過(guò)了一會(huì)兒，他問(wèn)助手：“容量是多少？”可半天沒(méi)聽(tīng)見(jiàn)回答。愛(ài)迪生挺納悶，轉(zhuǎn)過(guò)身來(lái)一看，只見(jiàn)助手正拿著軟尺，在測(cè)量燈泡不同高度的周長(zhǎng)，并拿著測(cè)得的數(shù)據(jù)，滿(mǎn)頭大汗地伏在桌上計(jì)算呢。
“怎么要費(fèi)那么多時(shí)間呢？”愛(ài)迪生說(shuō)罷，走過(guò)來(lái)，自己拿起那只空燈泡，采用了一種非常簡(jiǎn)單的辦法，不到半分鐘，就得出了燈泡客量的數(shù)據(jù)。
你知道愛(ài)迪生用了什么方法嗎？
問(wèn)題3 古代有一個(gè)國(guó)王，他覺(jué)得自己老了，想讓兒子繼承王位。他有兩個(gè)兒子，讓誰(shuí)繼承更好呢？國(guó)王決定考一考兩個(gè)兒子。
有一天 高中地理，國(guó)王把兩個(gè)兒子叫到跟前，對(duì)他們說(shuō)：“孩子們，我想給你們兩匹馬，一匹是黃驃馬。這匹馬屬于老大；另一匹馬是青聰馬，這一匹屬于老二�，F(xiàn)在，你們倆驅(qū)馬到10公里外的清泉邊飲水，誰(shuí)的馬走得慢，就是優(yōu)勝者�！�
哥哥想，既然慢者為勝，那就應(yīng)設(shè)法盡量拖延時(shí)間，比如說(shuō)，先洗個(gè)澡、睡個(gè)覺(jué)再騎上馬慢慢地走。
弟弟卻不然，當(dāng)國(guó)王吩咐完畢，他就立即騎上馬，飛奔而去。不一會(huì)兒，他到了目的地，把馬牽到池邊飲水。
看到比賽結(jié)果，國(guó)王非常高興，他決定讓老二繼承王位。
你知道這是為什么嗎？
高三生如何抓住考試復(fù)習(xí)的黃金規(guī)律
一份有效的考其難度應(yīng)該是遵循3：5：2的規(guī)律的，如果知道這個(gè)規(guī)律，我們?cè)诘臅r(shí)候，是不是可以利用這個(gè)規(guī)律呢？
題的難度分布為30％的簡(jiǎn)單題，50％的中等題，20％的難題。這意味著基礎(chǔ)題占了120分，它是復(fù)習(xí)中練題的主要部分，決不能厭煩它。要知道，不僅考你對(duì)的掌握程度，還要考做題的速度，許多同學(xué)就是在時(shí)因時(shí)間不夠，丟掉了平時(shí)能做出來(lái)的中等難度題才考砸的，這些教訓(xùn)值得大家三思。
鑒于此，建議大家多花時(shí)間在中等以下難度的題上。做難題并非做得越多越好，只能根據(jù)自己的程度適量地做：這一是因?yàn)閷?duì)大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)做難題感到很頭疼，容易產(chǎn)生厭煩情緒；二是做難題過(guò)多太費(fèi)時(shí)間；三是因?yàn)榇蠖鄶?shù)難題是由中等難度題組成，基礎(chǔ)題做熟練了，再來(lái)做難題會(huì)相對(duì)容易些�！霸绞潜砻鎻�(fù)雜的題越有機(jī)可乘”這句話非常有道理，高考的難題絕大部分就屬于這種表面復(fù)雜的類(lèi)型，它往往給出較多的條件，仔細(xì)分析條件的特點(diǎn)通常都能擊破它。做難題的關(guān)鍵在于平時(shí)總結(jié)，自己總結(jié)一些小經(jīng)驗(yàn)、小結(jié)論并記牢是非常有用的，也提高得快，有余力的同學(xué)不妨試試。
時(shí)間分配：把80%的時(shí)間和精力用于80%的內(nèi)容
在復(fù)習(xí)迎考的階段，不少同學(xué)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)常會(huì)放在那20%甚至是10%的那部分內(nèi)容上，我曾經(jīng)聽(tīng)說(shuō)有一所學(xué)校的月考內(nèi)容是把歷年來(lái)錯(cuò)誤率最高的題目集中起來(lái)讓做，結(jié)果當(dāng)然是可想而知的，考出來(lái)的成績(jī)個(gè)位數(shù)的也有，的信心大受打擊。其實(shí)這類(lèi)錯(cuò)誤率最高的題目大多屬于10%的題目，假如我們把自己的注意力集中在這部分的內(nèi)容上，明擺著是長(zhǎng)威風(fēng)，滅自己的志氣。而且與復(fù)習(xí)的策略也不利。
找準(zhǔn)位置：80%的內(nèi)容適合80%的學(xué)生的
高考還牽涉到填志愿的問(wèn)題，自己有沒(méi)有機(jī)會(huì)沖一沖，跳起來(lái)摘一摘那高高掛起來(lái)的蘋(píng)果；自己有沒(méi)有必要去攻一攻那20%和10%的難題呢？那么弄清楚自己在所有考生中的相對(duì)位置也很重要。你先要考慮的是你所在的學(xué)校屬于什么性質(zhì)的，市重點(diǎn)、區(qū)重點(diǎn)還是普通，你的學(xué)校在全市或全區(qū)的排名位置在哪里，然后再考慮你在學(xué)校的位置，兩者結(jié)合起來(lái)考慮，你大致可以推斷出你在全體考生的位置是否在70%左右，還是優(yōu)秀的20%，還是出類(lèi)拔萃的10%，然后，你就可以安排你的復(fù)習(xí)策略，主攻哪一部分的內(nèi)容。
其實(shí)，在復(fù)習(xí)時(shí)，如果你能很好地管好那80%的內(nèi)容，然后再挑戰(zhàn)一下20%的那部分。對(duì)于成績(jī)中等的同學(xué)來(lái)說(shuō)，在高考最后復(fù)習(xí)階段，一定要舍得拋棄難題。之前模擬考試的有些卷子整體難度大，有利于提高水平；但對(duì)于高難度的題，一般則采取擱置的態(tài)度。以基礎(chǔ)和中等難度的題為主，保證做題的準(zhǔn)確、速度，在這個(gè)基礎(chǔ)上適當(dāng)再做些難題以應(yīng)考試之萬(wàn)一。
不同層次的學(xué)生應(yīng)該根據(jù)自己的情況確定高考目標(biāo)
高考是一種區(qū)分型的考試，所以不可能指望所有的同學(xué)都考得多么好，因此要結(jié)合自己一貫的情況為自己訂出一個(gè)明確的目標(biāo)：一曰總分要達(dá)到多少；二曰具體到各科又要達(dá)到多少分。一定要實(shí)事求是地估計(jì)自己的能力，切忌好高務(wù)遠(yuǎn)，然后結(jié)合高考“3：5：2”的難度分布確定自己的主攻方向。對(duì)于基礎(chǔ)好的同學(xué)，不用過(guò)多地糾纏于簡(jiǎn)單題，而應(yīng)把主要精力放在中等難度題和難題上；對(duì)基礎(chǔ)不是很好的同學(xué)，應(yīng)在充分練習(xí)了簡(jiǎn)單題和中等難度題的基礎(chǔ)上來(lái)試攻難題；對(duì)基礎(chǔ)不好的同學(xué)，也許連中等題都感到一定困難，那就應(yīng)該從解決簡(jiǎn)單題入手，逐步過(guò)渡到中等題，大膽地放棄難題。所謂“放棄”，就是平�；静蛔鲭y題，考試時(shí)也不過(guò)多糾纏于難題，能做多少算多少，一旦做不出就馬上“撤退”。之所以建議基礎(chǔ)不好的同學(xué)這么做，是基于以下幾點(diǎn)：
首先，高考中的難題只占約30分，基礎(chǔ)題有120分之多，好好地把握這120分，爭(zhēng)取提高做題的率，若各科都考到110分以上，高考就有了相當(dāng)?shù)陌盐铡?/p>
其次，高考不但考解題能力，而且考解題速度，題量相當(dāng)大，以至大多數(shù)同學(xué)來(lái)不及做完考卷，這時(shí)如果你過(guò)多地糾纏于難題，浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，該做出的題沒(méi)了時(shí)間，就太不合算了。很多同學(xué)總是這也丟不了，那也放不下，結(jié)果必然是雙重地浪費(fèi)時(shí)間——復(fù)習(xí)時(shí)間和考試時(shí)間，所以請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真考慮，相信你能作出明智的選擇。
第三，適當(dāng)留出檢查時(shí)間，提高正確率 高一。不管何種程度的同學(xué)都容易忽視這個(gè)相當(dāng)重要的問(wèn)題：高考的時(shí)間非常緊張，極少有人能留出足夠的時(shí)間作全面檢查，因此，在提高做題速度的同時(shí)必須在平時(shí)就注意提高做題的正確率，盡可能在考試時(shí)做第一遍難度小的題時(shí)就做圓滿(mǎn)，不寄希望于再檢驗(yàn)，然后，盡可能地留出十分鐘左右時(shí)間檢查有希望的得分題，因?yàn)檫@最后十分鐘也許你做不出的難題已經(jīng)希望不大了，所以有必要引起特別注意。
高考決不是僅憑一些“規(guī)律”便可取勝的，還需要大家用艱苦的勞動(dòng)去圓自己理想的夢(mèng)。每個(gè)人在學(xué)習(xí)條件、層次、、目的及生活習(xí)慣諸方面都各有差異，所以希望大家能夠借鑒我們提供的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合自己的情況付出努力，向自己心中的理想邁進(jìn)！
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：如何學(xué)好立體幾何
第一要建立空間觀念，提高空間想象力。
從認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形是一次飛躍，要有一個(gè)過(guò)程。有的同學(xué)自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個(gè)好辦法。有的同學(xué)有空就對(duì)一些立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對(duì)于建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對(duì)于建立空間觀念也是很有幫助的。
第二要掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。
要用圖形、文字、符號(hào)三種形式表達(dá)概念、定理、公式，要及時(shí)不斷地復(fù)習(xí)前面學(xué)過(guò)的.內(nèi)容。這是因?yàn)椤读Ⅲw幾何》內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，前面內(nèi)容是后面內(nèi)容的根據(jù)，后面內(nèi)容既鞏固了前面的內(nèi)容，又發(fā)展和推廣了前面內(nèi)容。在解題中，要書(shū)寫(xiě)規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時(shí)，可以寫(xiě)成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉;要寫(xiě)出解題根據(jù)，不論對(duì)于計(jì)算題還是證明題都應(yīng)該如此，不能想當(dāng)然或全憑直觀;對(duì)于文字證明題，要寫(xiě)已知和求證，要畫(huà)圖;用定理時(shí)，必須把題目滿(mǎn)足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數(shù)而不把它寫(xiě)出來(lái)是不行的。要學(xué)會(huì)用圖(畫(huà)圖、分解圖、變換圖)幫助解決問(wèn)題;要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法。
第三要不斷提高各方面能力。
通過(guò)聯(lián)系實(shí)際、觀察模型或類(lèi)比平面幾何的結(jié)論來(lái)提出命題;對(duì)于提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個(gè)特例進(jìn)行檢驗(yàn)，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內(nèi)容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗(yàn)創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)。要不斷地將所學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。所謂結(jié)構(gòu)化，是指從整體到局部、從高層到低層來(lái)認(rèn)識(shí)、組織所學(xué)知識(shí)，并領(lǐng)會(huì)其中隱含的思想、方法。所謂系統(tǒng)化，是指將同類(lèi)問(wèn)題如平行的問(wèn)題、垂直的問(wèn)題、角的問(wèn)題、距離的問(wèn)題、惟一性的問(wèn)題集中起來(lái)，比較它們的異同，形成對(duì)它們的整體認(rèn)識(shí)。牢固地把握一些能統(tǒng)攝全局、組織整體的概念，用這些概念統(tǒng)攝早先偶爾接觸過(guò)的或是未察覺(jué)出明顯關(guān)系的已知知識(shí)間的聯(lián)系，提高整體觀念。
要注意積累解決問(wèn)題的策略。如將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，又如將求點(diǎn)到平面距離的問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為求直線到平面距離的問(wèn)題，再繼而轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面距離的問(wèn)題;或轉(zhuǎn)化為體積的問(wèn)題。要不斷提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平：一方面從已知到未知，另方面從未知到已知，尋求正反兩個(gè)方面的知識(shí)銜接點(diǎn) ——一個(gè)固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。要不斷提高反省認(rèn)知水平，積極反思自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，從經(jīng)驗(yàn)上升到自動(dòng)化，從感性上升到理性，加深對(duì)理論的認(rèn)識(shí)水平，提高解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性。
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法
在高考中數(shù)列部分的考查既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，不論是選擇題或填空題中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的檢驗(yàn)，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識(shí)的綜合，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵。
求數(shù)列通項(xiàng)公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過(guò)簡(jiǎn)單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。
例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類(lèi)題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)小題。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類(lèi)題在解時(shí)要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關(guān)系時(shí)，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時(shí)不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式
對(duì)于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。
例：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿(mǎn)足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個(gè)式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式
題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí)，可以考慮通過(guò)變形，構(gòu)造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或
Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來(lái)的高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項(xiàng)公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首項(xiàng)為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。
證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))
由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列。
若將此問(wèn)改為求an的通項(xiàng)公式，則仍可以通過(guò)求出{an-n}的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來(lái)。
又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
女主人
四位女士在玩一種紙牌游戲，其規(guī)則是：（a）在每一圈中，某方首先出一張牌，其余各方就要按這張先手牌的花色出牌（如果手中沒(méi)有這種花色，可以出任何其他花色的牌）；（b）每一圈的獲勝者即取得下一圈的首先出牌權(quán)。現(xiàn)在她們已經(jīng)打了十圈，還要打三圈。
�。�1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。
�。�2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。
（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。
（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒(méi)有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）
�。�5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。
（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。
這四位女士中，誰(shuí)是女主人？
�。ㄌ崾荆耗姆N花色是王牌？誰(shuí)在第二十圈出了王牌？）
答 案
梅花不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（l）和（4），阿爾瑪在最后三圈中將不止一次地?fù)碛惺紫瘸雠茩?quán)，而這與{（3）在這最后三圈中，首先出牌的女士各不相同。}矛盾。紅心不會(huì)是王牌，否則，根據(jù)（2）和（4），女主人在最后三圈中將不止一次地獲勝，而這與{（5）在這最后三圈中，獲勝者各不相同。}矛盾。
根據(jù){（1）在第十一圈，阿爾瑪首先出一張梅花，貝絲出方塊，克利奧出紅心，黛娜出黑桃，但后三人的這個(gè)先后順序不一定是她們的出牌順序。}，沒(méi)有人跟著阿爾瑪出梅花，這表明其他人都沒(méi)有梅花；可是根據(jù){（4）在這最后三圈的每一圈中，四種花色都有人打出，而且獲勝者憑的都是一張“王牌”。（王牌是某一種花色中的任何一張牌：（a）在手中沒(méi)有先手牌花色的情況下，可以出王牌――這樣，一張王牌將擊敗其他三種花色中的任何牌；（b）與其他花色的牌一樣，王牌可以作為先手牌打出。）}，每一圈中都有梅花出現(xiàn)，從而打最后三圈時(shí)阿爾瑪手中必定是三張梅花。由于最后三圈都是憑王牌獲勝，而且梅花不是王牌，所以阿爾瑪沒(méi)有一圈獲勝。根據(jù)（5），其他三人各勝一圈，所以其他三人各有一張王牌。
黑桃不會(huì)是王牌，否則，沒(méi)有一個(gè)人能有三張紅牌，而這與{（6）女主人的搭檔手中是三張紅色的牌。}矛盾。
因此方塊是王牌。
于是根據(jù)（1），貝絲在第十一圈獲勝，并且取得了第十二圈的首先出牌權(quán)。
根據(jù){（2）女主人在第十二圈獲勝，并且在第十三圈首先出了一張紅心。}，女主人在第十二圈獲勝（用王牌方塊），并且接著在第十三圈首先出了紅心。因此，根據(jù)（4），紅心不是第十二圈的先手牌花色。
方塊不能是第十二圈的先手牌花色，否則貝絲將不止一次地獲勝，而這與（5）矛盾（貝絲已經(jīng)在第十一圈獲勝，根據(jù)（4），如果在第十二圈她首先出方塊，那她還要在這一圈獲勝）。
梅花不能是第十二圈的先手牌花色，因?yàn)樗械拿坊ǘ荚诎柆數(shù)氖种?高中歷史，而根據(jù)（3），在最后三圈中阿爾瑪首先出牌只有一次（根據(jù)（l），是在第十一圈）。
因此，黑桃是第十二圈的先手牌花色。這張牌是貝絲出的。根據(jù)以上所知的每位女士所出花色的情況，可以列成下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
第十三圈：
梅花
既然貝絲在第十二圈首先出的是黑桃，那么根據(jù)（5），在這一圈出方塊（王牌）的不是克利奧就是黛娜。根據(jù)（2），如果是克利奧出了方塊，則她一定是女主人。但是根據(jù)（6），女主人的搭檔有三張紅牌，而除克利奧之外，其他人都不可能是女主人的搭擋(阿爾瑪手中全是梅花，貝絲在第十二圈首先出了黑桃，黛那在第十一圈出了黑桃，說(shuō)明這三人在最后三圈時(shí)手中都有黑牌。)因此，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，克利奧沒(méi)有出方塊（王牌）。
于是，在第十二圈貝絲首先出了黑桃之后，一定是黛娜出了方塊（王牌）。從而根據(jù)（2），女主人一定是黛娜。
分析可以繼續(xù)進(jìn)行下去。根據(jù)（2），黛娜在第十三圈首先出了紅心。于是上表可補(bǔ)充成為：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
紅心（先出）
于是根據(jù)（4），克利奧在第十二圈出了紅心。根據(jù)（5），克利奧在第十三圈出了方塊（王牌）。再根據(jù)（4），貝絲在第十三圈出了黑桃。完整的情況如下表：
阿爾瑪
貝絲
克利奧
黛娜
第十一圈：
梅花（先出）
方塊（獲勝）
紅心
黑桃
第十二圈：
梅花
黑桃（先出）
紅心
方塊（獲勝）
第十三圈：
梅花
黑桃
方塊（獲勝）
紅心（先出）
練習(xí)解決生活問(wèn)題 高考前一個(gè)月數(shù)學(xué)如何復(fù)習(xí)
“三基四能一創(chuàng)新”
根據(jù)命題的特點(diǎn)，我們考前應(yīng)該如何進(jìn)行呢？第一，我們應(yīng)該知道，考的內(nèi)容，叫“三基四能一創(chuàng)新”。“三基”就是基礎(chǔ)，基本技能，基本；“四能”叫邏輯推理，空間，計(jì)算，應(yīng)用能力；還有“一創(chuàng)新”，叫創(chuàng)新意識(shí)，現(xiàn)在培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。
按照高考的這樣一個(gè)要求來(lái)看，我們平常應(yīng)該怎么學(xué)呢？比如說(shuō)現(xiàn)在學(xué)，其實(shí)有四個(gè)層次，第一個(gè)層次是能聽(tīng)懂，第二個(gè)層次叫會(huì)做題，第三個(gè)層次叫能做對(duì)，第四個(gè)層次叫能做好。
常聽(tīng)抱怨，說(shuō)我那個(gè)孩子上課能聽(tīng)懂，但就不會(huì)做題。我覺(jué)得這很正常，數(shù)學(xué)既然有四個(gè)層次，光聽(tīng)懂只是社會(huì)主義的初級(jí)階段，當(dāng)然不會(huì)做了。在聽(tīng)懂和會(huì)做之間，它是一個(gè)臺(tái)階，這個(gè)臺(tái)階，便是高考的基礎(chǔ)知識(shí)�；A(chǔ)知識(shí)不過(guò)關(guān)，光能聽(tīng)懂，做題就不會(huì)了。有些說(shuō)，我的孩子會(huì)做，但是抬筆就錯(cuò)，特別馬虎。我覺(jué)得這是錯(cuò)判，據(jù)我觀察，把會(huì)做的題目做錯(cuò)，這不叫馬虎，這叫基本技能不過(guò)關(guān)�；炯寄苁切枰�(xùn)練的，光看書(shū)能看出來(lái)，光想能想出來(lái)嗎？就像游泳教練教游泳，先在陸地上教給他一些動(dòng)作，從理論上加以支持，但必須有一個(gè)實(shí)踐的過(guò)程；從會(huì)做到做對(duì)，它要求的就是基本技能要保證。此外，從做對(duì)到做好還有一個(gè)基本方法的問(wèn)題。你說(shuō)這個(gè)題目我做對(duì)了，本來(lái)方法要是對(duì)路，三兩分鐘就能搞定，結(jié)果你搞了個(gè)很變態(tài)的方法，把自己累得死去活來(lái)，頭昏腦漲，花了10多分鐘、甚至20多分鐘，把這個(gè)題搞出來(lái)了，這樣是沒(méi)法兒學(xué)好數(shù)學(xué)的。同樣是做對(duì)，我們能不能找一個(gè)既快又準(zhǔn)的方法，讓我們做完這道題以后，心中感到好像有一股清清的泉水在流淌。那種爽快的感覺(jué)，和做完這個(gè)題就不想活了的那種感覺(jué)，當(dāng)然是不一樣的。
高考還得考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，所以每年的高考，必然有新題，肯定有一些你從來(lái)沒(méi)見(jiàn)過(guò)的、背景非常陌生的題目，學(xué)生應(yīng)該有這樣的思想準(zhǔn)備，這是高考沒(méi)法兒回避的問(wèn)題。所以我們應(yīng)該在考前這一段，多找一些面孔比較陌生的題目，故意和陌生人打交道，這樣時(shí)間長(zhǎng)了，就不害怕了，高考出現(xiàn)沒(méi)見(jiàn)過(guò)的題目，你心里就不會(huì)慌了。
下面講四能。高考要考察學(xué)生的邏輯推理能力，肯定要考證明題，而且這個(gè)題目，肯定要有步驟。所以一個(gè)學(xué)生平常練習(xí)，直接寫(xiě)出來(lái)一個(gè)結(jié)果，當(dāng)做了個(gè)填空題 高三，他高考的時(shí)候必然得后悔。為什么呢？因?yàn)槟愕倪壿嬐评砟芰υ趺大w現(xiàn)，你豐富的過(guò)程怎么展現(xiàn)，不就是通過(guò)解題的步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)嗎？現(xiàn)在很多學(xué)生，他能把這個(gè)題做對(duì)，可是得不了，步驟不嚴(yán)謹(jǐn)，跳躍太大就是一個(gè)原因。
還有一個(gè)計(jì)算能力。如果你平常會(huì)做的題目老是做錯(cuò)，或者稍微有點(diǎn)計(jì)算量，你心里就打怵，那你當(dāng)然沒(méi)法兒應(yīng)對(duì)高考計(jì)算能力的要求。對(duì)大家特別有挑戰(zhàn)的，就是解析幾何，解析幾何發(fā)展到最后，往往形成一個(gè)龐然大物，對(duì)計(jì)算不過(guò)關(guān)的同學(xué)，就是一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。但是高考既然把計(jì)算能力作為四大能力之一，你平常就應(yīng)該好好練習(xí)，明知山有虎，偏向虎山行。
第三個(gè)能力就叫空間想象能力。這個(gè)茶杯，是個(gè)三維的，畫(huà)在一張紙上，它就是個(gè)二維的東西，我一看就能想到三維的立體圖形，這就是空間想象能力。建筑工人要蓋樓，有誰(shuí)天天抱著一個(gè)樓，都是拿著一卷圖紙，一般師傅看著這個(gè)圖紙，就知道哪兒有一面墻，哪兒有一扇窗，他完全能通過(guò)圖紙，想象出這個(gè)樓的整體架構(gòu)�？臻g想象能力在數(shù)學(xué)中有一門(mén)學(xué)科，是唯一的一個(gè)載體，那就是立體幾何。所以有人問(wèn)，立體幾何今年考不考，那還用問(wèn)嗎，高考考的空間想象能力就是通過(guò)立體幾何，是每年必考的。你如果覺(jué)得立體幾何還不過(guò)關(guān)，那你得抓緊突破。
還有一個(gè)叫應(yīng)用能力，就是利用數(shù)學(xué)方法，解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的能力。高考每年都要牽扯到一些應(yīng)用題，大家都比較害怕，那么你盡量地多跟這些題目打打交道，熟了不就不害怕了嗎？所以從高考的要求來(lái)看，我們就應(yīng)該知道平常應(yīng)該突破的重點(diǎn)。
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