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實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù)，是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱。數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)定義為與數(shù)軸上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)。下面是小編為您收集整理的有關(guān)實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的定義相關(guān)資料，希望對(duì)您有所幫助。
實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。但僅僅以列舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的整體。實(shí)數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。實(shí)數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)理論的核心研究對(duì)象。
所有實(shí)數(shù)的集合則可稱為實(shí)數(shù)系(real number system)或?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可稱為實(shí)數(shù)系。在保序同構(gòu)意義下它是惟一的，常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算系統(tǒng)，故有實(shí)數(shù)系這個(gè)名稱。
實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的)。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n為正整數(shù))。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示。
歷史
在公元前500年左右，以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要，但畢達(dá)哥拉斯本身并不承認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在。 直到17世紀(jì)，實(shí)數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì)，微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)。1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。
根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)，有理數(shù)集在數(shù)軸上似乎是“稠密”的，于是古人一直認(rèn)為用有理數(shù)即能滿足測(cè)量上的實(shí)際需要。以邊長(zhǎng)為1厘米的正方形為例，其對(duì)角線有多長(zhǎng)?在規(guī)定的精度下(比如誤差小于0.001厘米)，總可以用有理數(shù)來(lái)表示足夠精確的測(cè)量結(jié)果(比如1.414厘米)。但是，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，只使用有理數(shù)無(wú)法完全精確地表示這條對(duì)角線的長(zhǎng)度，這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念;他們?cè)詾椋?/p>
任何兩條線段(的長(zhǎng)度)的比，可以用自然數(shù)的比來(lái)表示。
正因如此，畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬(wàn)物皆數(shù)”的信念，這里的數(shù)是指自然數(shù)(1 , 2 , 3 ，...)，而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù)，而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實(shí)，對(duì)當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)可謂極大的打擊;見(jiàn)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
從古希臘一直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才慢慢接受無(wú)理數(shù)的存在，并把它和有理數(shù)平等地看作數(shù);后來(lái)有虛數(shù)概念的引入，為加以區(qū)別而稱作“實(shí)數(shù)”，意即“實(shí)在的數(shù)”。在當(dāng)時(shí)，盡管虛數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)并廣為使用，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義卻仍然是個(gè)難題，以至函數(shù)、極限和收斂性的概念都被定義清楚之后，才由十九世紀(jì)末的戴德金、康托等人對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格處理。
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