常用的大學(xué)高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法
導(dǎo)語(yǔ)：大學(xué)的數(shù)學(xué)屬于高等數(shù)學(xué)嗎，難度十分之大，那么高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該要怎么樣學(xué)習(xí)，應(yīng)該要怎歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)的欄目!
大學(xué)數(shù)學(xué)的常用的學(xué)習(xí)方法
一、《高等數(shù)學(xué)》的特點(diǎn)
高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué), 它是研究運(yùn)動(dòng)、研究無(wú)限過(guò)程、研究高維空間、研究多因素的作用。從觀點(diǎn)到方法都和初等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的差異。要想學(xué)習(xí)好《高等數(shù)學(xué)》, 必須搞清《高等數(shù)學(xué)》的特點(diǎn)。
1.常量與變量高等數(shù)學(xué)能深刻體現(xiàn)“常”和“變”互相轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)。例如在求曲線的弧長(zhǎng), 先視“常”為“變”( 把弧長(zhǎng)看成折線長(zhǎng)的極限) , 再通過(guò)“變”( 極限過(guò)程) 達(dá)到“常”( 求得弧的確定長(zhǎng)度) 。這是初等 數(shù)學(xué)辦不到的。
2.直與曲高等數(shù)學(xué)把直線和平面作為曲線和曲面的特例, 并認(rèn)為在一定條件下“直”與“曲”可以互相轉(zhuǎn)化。例如, 利用弧微分“以直代曲”, 通過(guò)積分又把“直轉(zhuǎn)化為曲”。
3.有限與無(wú)限運(yùn)用分析運(yùn)算(無(wú)限運(yùn)算)———極限, 這是高等數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn), 而初等數(shù)學(xué)只能進(jìn)行有限次運(yùn)算, 有限與無(wú)限通過(guò)極限方法實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化。例如函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)。
4. 特殊與一般從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)意味著從特殊到一般的過(guò)渡。
5.具體與抽象抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一, 高等數(shù)學(xué)更加抽象, 結(jié)果更加深刻。
由上可知, 高等數(shù)學(xué)有兩個(gè)顯著的特征: 一是內(nèi)容相當(dāng)豐富; 二是理論體系中結(jié)構(gòu)復(fù)雜、層次繁多。為此, 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不能停留在書(shū)本上的機(jī)械學(xué)習(xí), 而要用較高的觀點(diǎn), 系統(tǒng)、全面和有重點(diǎn)地去掌握其基本理論; 要融會(huì)貫通、綜合運(yùn)用。另外高等數(shù)學(xué)的知識(shí)的展開(kāi)是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜, 由個(gè)別到一般, 由基礎(chǔ)性概念到抽象性更高的一般性概念的一環(huán)套一環(huán)地發(fā)展著的。所以, 只有對(duì)其知識(shí)的系統(tǒng)的挖掘與刨析, 才能更好地找到學(xué)習(xí)的方法。
二、學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的方法
學(xué)習(xí)是知識(shí)的積累、加工和運(yùn)用, 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一般要經(jīng)過(guò)初學(xué)-精學(xué)-實(shí)踐三個(gè)不同的階段。處學(xué)階段是基礎(chǔ)階段, 在這個(gè)階段里, 主要是通過(guò)教學(xué)( 自學(xué)) 獲得片斷的、零散的知識(shí); 要將高等數(shù)學(xué)各節(jié)中的基本概念、定理內(nèi)容及其論證, 例題、習(xí)題一點(diǎn)點(diǎn)搞懂, 在理解的基礎(chǔ)上加以記憶。精學(xué)階段是復(fù)習(xí)、整理、加工階段, 分析、總結(jié)這個(gè)階段的重要任務(wù)。它是在初學(xué)階段的升華, 要掌握知識(shí)
的關(guān)鍵是要揭示理論結(jié)構(gòu)與內(nèi)在層次, 學(xué)會(huì)用語(yǔ)言直接闡述, 了解每一部分內(nèi)容在整體中的地位和作用; 抓住實(shí)質(zhì)與內(nèi)在的聯(lián)系; 并從豐富的內(nèi)容中, 理出它們之間的聯(lián)系, 只有這樣才能真正掌握知識(shí), 形成牢固的記憶, 培養(yǎng)技能與技巧。實(shí)踐階段主要是指通過(guò)學(xué)習(xí)后的科研與應(yīng)用實(shí)踐, 是學(xué)習(xí)過(guò)程的后續(xù), 是再學(xué)習(xí)、再認(rèn)識(shí)的階段。在精學(xué)階段中的好壞將直接影響到本階段的工作效果。從方法上我們提倡瀏覽———研讀———復(fù)述———溫習(xí)的學(xué)習(xí)方法,真正把高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到手, 關(guān)鍵是狠抓基本理論和基本技能, 對(duì)于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體方法是:
�、苯邮招畔⒋髮W(xué)課堂教學(xué)進(jìn)度快、內(nèi)容多, 應(yīng)該先預(yù)習(xí), 邊看書(shū)邊動(dòng)手演算推導(dǎo), 看看自己哪些懂了哪些不懂, 知己知彼, 帶著問(wèn)題有目的地聽(tīng)課, 適當(dāng)作些筆記, 簡(jiǎn)要記下重點(diǎn)、關(guān)鍵、思路、補(bǔ)充材料和自己的體會(huì)。
⒉如何消化材料依靠頭腦這個(gè)加工廠改造制作, 溫故知新, 由此及彼, 由表及里。要經(jīng)歷一個(gè)把書(shū)本由薄變厚( 發(fā)揮) , 再由厚變薄( 歸納) 的過(guò)程, 這是要下苦功夫的。
(1)掌握基本概念數(shù)學(xué)講究邏輯思維, 而邏輯思維無(wú)非是( 在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上) 抽象出概念, 運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、作出推理。所以, 概念是思維的基本元素, 數(shù)學(xué)水平的高低在很大程度上取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的深度。這一點(diǎn)往往為初學(xué)者所忽視。由于數(shù)學(xué)概念比普通概念更抽象。而我們又是從書(shū)本上接受這些概念, 缺乏直接經(jīng)驗(yàn), 這種先天不足更待后天彌補(bǔ)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念一定得反復(fù)揣摩, 如極限概念, 先要有樸素的領(lǐng)悟( 趨近) , 再到嚴(yán)格的敘述( “ε- N”、“ε- δ”語(yǔ)言) , 才能逐步確切理解。
(2)善用數(shù)學(xué)語(yǔ)言普通思維靠詞語(yǔ), 數(shù)學(xué)思維靠符號(hào)語(yǔ)言, 它簡(jiǎn)明準(zhǔn)確、自成體系。高等數(shù)學(xué)符號(hào)繁多, 含意豐富深刻。我們對(duì)兩種語(yǔ)言必須能互譯、運(yùn)用自如。很多數(shù)學(xué)語(yǔ)言是以“構(gòu)件”形式反復(fù)出現(xiàn)的,如運(yùn)算符號(hào)、演算公式, 以及程式化的論證( 如數(shù)學(xué)歸納法) 、模式化的陳述( 如“ε- δ”語(yǔ)言、“充要條件”) 、格式化的列表( 如函數(shù)作圖時(shí)按一定程序制表) 等等。用時(shí)要熟練地“裝配”起來(lái)。
(3)搞清來(lái)龍去脈要將知識(shí)系統(tǒng)化, 由點(diǎn)到線到面, 就要串成鏈,織成網(wǎng)。具體做法如下:
①理脈絡(luò)如極限方法貫穿于微積分的始終, 其它主要概念( 如導(dǎo)數(shù)、積分等) 的建立; 主要問(wèn)題的解決都依賴于它, 這條線索要理清楚。
�、诘旎缰匾獦O限limx→0(1+x)1x 的存在問(wèn)題是微積分的基石之一, 可仔細(xì)體味。
�、劢ㄅ_(tái)階如定積分、重積分、曲線、曲面積分等, 都是和式的`極限, 但又層層深入和提高。
�、軜�(shù)大梁如向量方法在空間解析幾何中是主干, 由它導(dǎo)出直線、平面等一系列公式和性質(zhì)。
�、葑鞅容^如函數(shù)的連續(xù)性, 在開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間上的結(jié)論就不同。
�、迺�(huì)拓廣如空間解析幾何是平面解析幾何的拓廣, 多元函數(shù)微積分是一元函數(shù)微積分的拓廣, 要論清在哪些地方是怎樣拓廣的。
�、甙盐仗乩缌_爾定理、拉格朗日中值定理, 都是泰勒公式的特例。
�、嘈纬芍R(shí)鏈如微分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式、積分中值定理等。可形成一串, 成為微積分的基本定理。另為在閉區(qū)間上函數(shù)可微→連續(xù)→可積→有界的知識(shí)鏈, 反之則不成立。
�、釋W(xué)會(huì)歸納和舉反例如導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用, 名目繁多, 在函數(shù)作圖中將各類應(yīng)用集中起來(lái); 如連續(xù)不一定可微, 舉一反例就能說(shuō)明。
�、饪棾芍R(shí)網(wǎng)如微分學(xué)與解析幾何的某些結(jié)合, 邊產(chǎn)生書(shū)中介紹的幾何初步知識(shí)( 曲率、切線、切平面、法線、法平面等) 。凡此種種, 方法多樣, 要靈活運(yùn)用。
(4)幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道之一, 要善于尋找各種概念的解釋。 以上各項(xiàng), 都要靠仔細(xì)解刨書(shū)本, 抓要害、求甚解。再用自己熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納整理, 使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化, 了如指掌。
3.如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)
(1)解題適當(dāng)多做習(xí)題, 不但提高了解題能力, 而且加深了對(duì)知識(shí)的理解。要注意積累解題途徑經(jīng)驗(yàn), 及時(shí)加以總結(jié)。具體過(guò)程如下:
�、僮ヮ}型：分得清題目類型, 就能以少勝多, 成片地獲取知識(shí)。如常微分方程按型求解。
�、谡曳椒ǎ喝绶e分最常用的方法是換元法和分部, 還有很多特殊技巧。 ③掌握步驟如求最大( 小) 值的應(yīng)用題, 須經(jīng)哪幾步才能得到結(jié)果, 予以總結(jié)。
�、軐ひ�(guī)律：如導(dǎo)數(shù)是構(gòu)造性定義的( 分三步: 求增量、算比值、取極限) , 決定了求導(dǎo)數(shù)可以“機(jī)械化”, 這是一般規(guī)律; 而不定積分是非構(gòu)造性定義的, 作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算, 無(wú)一般規(guī)律可循。但一般中又有特殊, 比如何時(shí)用法則求導(dǎo)、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)、利用隱函數(shù)求導(dǎo)、利用微分形式不變性求導(dǎo), 都有特殊規(guī)律。又如定積分也是構(gòu)造性定義的, 但極限過(guò)程中有兩個(gè)“無(wú)關(guān)”( 與分法無(wú)關(guān)、與中間點(diǎn)取法無(wú)關(guān)) , 按定義難以算出, 有了牛頓—萊布尼茲公式才與原函數(shù)掛上了鉤。再如微元分析法在定積分、微分方程的應(yīng)用中是基本的一個(gè)環(huán)節(jié), 要注意所找到的△S 應(yīng)該滿足△S=f(x)△x+o(△x), 否則就找錯(cuò)了。解完題之后, 還應(yīng)考慮有無(wú)別的解法, 并比較各種方法的優(yōu)劣、異同, 做到舉一反三。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤, 及時(shí)糾正,并找出錯(cuò)誤的原因。有疑問(wèn)要記錄下來(lái)繼續(xù)研究。
( 2) 重視聯(lián)系實(shí)際經(jīng)�？疾旄鞣N數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景, 設(shè)法解決一些實(shí)際問(wèn)題。
( 3) 開(kāi)展研究工作, 這是更高的境界。有興趣的多看看一些研究數(shù)
學(xué)的體會(huì)的文章。
總之, 要開(kāi)動(dòng)腦筋, 獨(dú)立思考, 創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)。對(duì)理論體系實(shí)施逐節(jié)———逐單元———逐章———逐篇的、由個(gè)別到一般的刨析, 通過(guò)分析將每一部分的概念、定理、法則、理論的知識(shí)要點(diǎn)概括出來(lái), 暫時(shí)舍棄那些次要的、枝節(jié)性的東西。在程序上, 先發(fā)現(xiàn)局部的, 再發(fā)現(xiàn)大片的、最后發(fā)現(xiàn)總體的。在內(nèi)容上, 要尋求三種要素: 一是各概念、定理、法則、理論間的內(nèi)在聯(lián)系( 并在對(duì)比中加以區(qū)別, 識(shí)其本質(zhì)) ; 二是貫穿于各個(gè)部分概念、定理、法則、理論間的一根主線, 不妨稱之為“知識(shí)鏈”;三是在知識(shí)間的關(guān)系不斷豐富和理論逐步發(fā)展的基礎(chǔ)上所形成的“知識(shí)網(wǎng)”。在先前形成的知識(shí)框架的基礎(chǔ)上, 順著各部分知識(shí)的拓展, 將各部分知識(shí)加入全部細(xì)節(jié), 從而擴(kuò)充與上升到知識(shí)的總體, 這是以不是原來(lái)書(shū)本中知識(shí)內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù)和羅列, 而是高觀點(diǎn)的、有牢固的支架。這樣掌握的是成串、成套的知識(shí), 是具有“空間”結(jié)構(gòu)的知識(shí), 而不是“平面”鋪開(kāi)的知識(shí)。經(jīng)過(guò)這樣的學(xué)習(xí)才能真正掌握基本知識(shí)和基本技能; 才能提高掌握知識(shí)的質(zhì)量, 開(kāi)發(fā)智力( 觀察力、記憶力、思維方式、想象能力等) , 增強(qiáng)能力( 數(shù)學(xué)的思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力) , 只要鍥而不舍, 會(huì)受到良好的效果。
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