高一數(shù)學《集合》知識點

　　數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，下面是小編整理的高一數(shù)學《集合》知識點，希望對大家有幫助!

　　一.知識歸納：

　　1.集合的有關概念。

　　1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　�、诩�合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

　�、奂�合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

　　2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若對x∈A都有x∈B，則A B(或A B);

　　2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B(或 ，且 )

　　3)交集：A∩B={x x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x x∈A或x∈B}

　　5)補集：CUA={x x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，則? A ;

　　②若 ， ，則 ;

　�、廴� 且 ，則A=B(等集)

　　3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

　　4.有關子集的幾個等價關系

　�、貯∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

　　④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

　　5.交、并集運算的性質

　�、貯∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

　�、跜u (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

　　6.有限子集的個數(shù)：設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

　　二.例題講解：

　　【例1】已知集合M={xx=m+ ,m∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

　　解答一：對于集合M：{xx= ,m∈Z};對于集合N：{xx= ,n∈Z}

　　對于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的`關系，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合 ， ，則( B )

　　A.M=N B.M N C.N M D.

　　解：

　　當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

　　【例2】定義集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為

　　A)1 B)2 C)3 D)4

　　分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為

　　A)5個 B)6個 C)7個 D)8個

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">

　　分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

　　解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

　　<><-1或x>

　　綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}

　　變式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數(shù)形結合的方法，作出數(shù)軸來解之。

　　變式2：設M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　�、佼� 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

　　解答：(1)若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值范圍是

　　變式：若關于x的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

　　解答：

　　點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

　　三.隨堂演練

　　選擇題

　　1. 下列八個關系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

　　⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)

　　(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

　　2.集合{1，2，3}的真子集共有

　　(A)5個 (B)6個 (C)7個 (D)8個

　　3.集合A={x } B={ } C={ }又 則有

　　(A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個

　　4.設A、B是全集U的兩個子集，且A B，則下列式子成立的是

　　(A)CUA CUB (B)CUA CUB=U

　　(C)A CUB= (D)CUA B=

　　5.已知集合A={ }， B={ }則A =

　　(A)R (B){ }

　　(C){ } (D){ }

　　6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合; (2)由1，2，3組成的集合可表示為

　　{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正確的是

　　(A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)

　　(C)只有(2) (D)以上語句都不對

　　7.設S、T是兩個非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=

　　(A)X (B)T (C)Φ (D)S

　　8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為

　　(A)R (B) (C){ } (D){ }

　　填空題

　　9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為

　　10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=

　　11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =

　　12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是

　　13設集合A={ },B={x },且A B，則實數(shù)k的取值范圍是。

　　14.設全集U={x 為小于20的非負奇數(shù)}，若A (CUB)={3，7，15}，(CUA) B={13，17，19}，又(CUA) (CUB)= ，則A B=

　　解答題

　　15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實數(shù)a。

　　16(12分)設A= ， B= ，

　　其中x R,如果A B=B，求實數(shù)a的取值范圍。

　　四.習題答案

　　選擇題

　　1 2 3 4 5 6 7 8

　　C C B C B C D D

　　填空題

　　9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

　　解答題

　　15.a=-1

　　16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A

　　(Ⅰ)B= 時， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

　　(Ⅱ)B={0}或B={-4}時， 0 得a=-1

　　(Ⅲ)B={0，-4}， 解得a=1

　　綜上所述實數(shù)a=1 或a -1

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