小學(xué)奧數(shù)數(shù)論問(wèn)題解析：約數(shù)與倍數(shù)
奧數(shù)注重學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，有它獨(dú)特的解題思路和方法，快來(lái)做做奧數(shù)題來(lái)鍛煉自己吧!下面是小編為大家收集到的奧數(shù)數(shù)論問(wèn)題解析約數(shù)與倍數(shù)，供大家參考。
約數(shù)與倍數(shù)
已知x、y為正整數(shù)，且滿足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的數(shù)對(duì)(x，y ) (x≥y )
考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù).
分析：此題需分類討論，①當(dāng)x是y的倍數(shù)時(shí)，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).解方程k(y-2)=3;②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時(shí)，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當(dāng)x是y的倍數(shù)時(shí)，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).
則由原方程，得
kyy-(ky+y)=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-(k+1)=2+k，
∴k(y-2)=3，
當(dāng)k=1時(shí)，x=5，y=5;
當(dāng)k=3時(shí)，x=9，y=3;
�、诋�(dāng)x不是y的倍數(shù)時(shí)，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp，代入原式
得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)
當(dāng)p=1時(shí)，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時(shí)不滿足條件;
當(dāng)p>1時(shí)，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)
此時(shí)，abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;
綜上所述，滿足條件的數(shù)對(duì)有
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的`是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).由于兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù).
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