大學(xué)數(shù)學(xué)微積分教學(xué)與建模應(yīng)用略析
導(dǎo)語：長期以來，微積分都是大學(xué)理工專業(yè)的基礎(chǔ)性學(xué)科之一，也是學(xué)生普遍感覺難學(xué)的內(nèi)容之一.究其原因，既有微積分自身屬于抽象知識的因素，也有教學(xué)過程中方法失當(dāng)?shù)目赡埽虼藢ふ腋鼮橛行У慕虒W(xué)思路，就成為當(dāng)務(wù)之急. 以下是小編為大家精心整理的大學(xué)數(shù)學(xué)微積分教學(xué)與建模應(yīng)用略析，歡迎大家參考！
數(shù)學(xué)教學(xué)中一向有建模的思路，中學(xué)教育中學(xué)生也接受過隱性的數(shù)學(xué)建模教育，因而學(xué)生進(jìn)入大學(xué)之后也就有了基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗與能力.但由于很少經(jīng)過系統(tǒng)的訓(xùn)練，因而學(xué)生對數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用又缺乏必要的理論認(rèn)識，進(jìn)而不能將數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)換成有效的學(xué)習(xí)能力.而在微積分教學(xué)中如果能夠?qū)?shù)學(xué)建模運用到好處，則學(xué)生的建構(gòu)過程則會順利得多.本文試對此進(jìn)行論述.
一、數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)價值再述
從學(xué)生的視角縱觀學(xué)生接受的教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的大學(xué)生所經(jīng)歷的教學(xué)往往更多地將研究重心放在教學(xué)方式上，基礎(chǔ)教育階段經(jīng)歷過的自主合作探究的教學(xué)方式，成為當(dāng)前大學(xué)生的主流學(xué)習(xí)方式.這種重心置于教學(xué)方式的教學(xué)思路，會一定程度上掩蓋傳統(tǒng)且優(yōu)秀的教學(xué)思想，不幸的是，數(shù)學(xué)建模就是其中之一.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模理應(yīng)彰顯出更充分的顯性價值.現(xiàn)以微積分教學(xué)為例進(jìn)行分析.
大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，微積分知識具有分析、解決實際問題的作用，其知識的建構(gòu)也能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)并以數(shù)學(xué)眼光看待事物的意識與能力，而這些教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，離不開數(shù)學(xué)建模.比如說作為建構(gòu)微積分概念的重要基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)很重要，而對于導(dǎo)數(shù)概念的構(gòu)建而言，極值的教學(xué)又極為重要，而極值本身就與數(shù)學(xué)建模密切相關(guān).極值在微積分教學(xué)中常常以這樣的數(shù)學(xué)形式出現(xiàn)：設(shè)y=f（x）在x0處有導(dǎo)數(shù)存在，且f′（x）=0，則x=x0稱為y=f（x）的駐點.又假如有f″（x0）存在，且有f’（x）=0，f″（x）≠0，則可以得出以下兩個結(jié)論：如果f″（x）<0，則f（x0）是其極大值；若f″（x0）>0，則f（x0）是其極小值.在純粹的數(shù)學(xué)習(xí)題中，學(xué)生在解決極值問題的時候，往往可以依據(jù)以上思路來完成，但在實際問題中，這樣的簡單情形是很難出現(xiàn)的，這個時候就需要借助一些條件來求極值，而在此過程中，數(shù)學(xué)建模就起著重要的作用.譬如有這樣的一個實際問題：為什么看起來體積相同的移動硬盤會有不同的容量？給定一塊硬盤，又如何使其容量最大？事實證明，即使是大學(xué)生，在面對這個問題時也往往束手無策.根據(jù)筆者調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在初次面對這個問題的時候，往往都是從表面現(xiàn)象入手的，他們真的將思維的重點放在移動硬盤的體積上.顯然，這是一種缺乏建模意識的表現(xiàn).
反之，如果學(xué)生能夠洞察移動硬盤的容量形成機(jī)制（這是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的關(guān)鍵性步驟），知道硬盤的容量取決于磁道與扇區(qū)，而磁道的疏密又與磁道間的距離（簡稱磁道寬度）有關(guān)，有效的磁道及寬度是一個硬盤容量的重要決定因素.那就可以以之建立一個極限模型，來判斷出硬盤容量最大值.從這樣的例子可以看出，數(shù)學(xué)建模的意識存在與否，就決定了一個問題解決層次的高低，也反映出一名學(xué)生的真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因而從教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)建模在于引導(dǎo)學(xué)生抓住事物的關(guān)鍵，并以關(guān)鍵因素及其之間的聯(lián)系來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而完成問題的分析與求解.筆者以為，這就是包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的教學(xué)理論對學(xué)生的巨大教學(xué)價值.
事實上，數(shù)學(xué)建模原本就是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)思路，全國性的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽近年來也有快速發(fā)展，李大潛院士更是提出了“把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)主干數(shù)學(xué)課程教學(xué)中去”的口號，這說明從教學(xué)的層面，數(shù)學(xué)建模的價值是得到認(rèn)可與執(zhí)行的.作為一線數(shù)學(xué)教師，更多的是通過自身的有效實踐，總結(jié)出行之有效的實踐辦法，以讓數(shù)學(xué)建模不僅僅是一個美麗的概念，還是一條能夠促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)健康發(fā)展的光明大道.
二、微積分教學(xué)建模應(yīng)用例析
大學(xué)數(shù)學(xué)中，微積分這一部分的內(nèi)容非常廣泛，從最基本的極限概念，到復(fù)雜的定積分與不定積分，再到多元函數(shù)微積分、二重積分、微分方程與差分方程等，每一個內(nèi)容都極為復(fù)雜抽象.從學(xué)生完整建構(gòu)的角度來看，沒有一個或多個堅實的模型支撐，學(xué)生是很難完成這么多內(nèi)容的學(xué)習(xí)的.而根據(jù)筆者的實踐，基于數(shù)學(xué)建模來促進(jìn)相關(guān)知識的有效教學(xué)，是可行的.
先分析上面的極限例子.這是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)建模初次的顯性應(yīng)用，在筆者看來該例子的分析具有重要的奠基性作用，也是一次重要的關(guān)于數(shù)學(xué)建模的啟蒙.在實際教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生先建立這樣的認(rèn)識：
首先，全面梳理計算機(jī)硬盤的容量機(jī)制，建立實際認(rèn)識.通過資料查詢與梳理，學(xué)生得出的有效信息是：磁盤是一個繞軸轉(zhuǎn)動的金屬盤；磁道是以轉(zhuǎn)軸為圓心的同心圓軌道；扇區(qū)是以圓心角為單位的扇形區(qū)域.磁道間的距離決定了磁盤容量的大小，但由于分辨率的限制，磁道之間的距離又不是越小越好.同時，一個磁道上的比特數(shù)也與磁盤容量密切相關(guān)，比特數(shù)就是一個磁道上被確定為1 B的數(shù)目.由于計算的需要，一個扇區(qū)內(nèi)每一個磁道的比特數(shù)必須是相同的（這意味著離圓心越遠(yuǎn)的磁道，浪費越多）.最終，決定磁盤容量的就是磁道寬度與每個磁道上的比特數(shù).
其次，將實物轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型.顯然，這個數(shù)學(xué)模型應(yīng)當(dāng)是一個圓，而磁盤容量與磁道及一個磁道的容量關(guān)系為：磁盤容量=磁道容量×磁道數(shù).如果磁盤上可以有效磁化的半徑范圍為r至R，磁道密度為a，則可磁化磁道數(shù)目則為R-ra.由于越靠近圓心，磁道越短，因此最內(nèi)一條磁道的容量決定了整體容量，設(shè)每1 B所占的`弧長不小于b，于是就可以得到一個關(guān)于磁盤容量的公式： B（r）=R-ra2πrb.
于是，磁盤容量問題就變成了求B（r）的極大值問題.這里可以對B（r）進(jìn)行求導(dǎo)，最終可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)從半徑為R2處開始讀寫時，磁盤有最大容量.
而在其后的反思中學(xué)生會提出問題：為什么不是把整個磁盤寫滿而獲得最大容量的？這個問題的提出實際上既反映了這部分學(xué)生沒有完全理解剛才的建模過程，反過來又是一個深化理解本題數(shù)學(xué)模型的過程.反思第一步中的分析可以發(fā)現(xiàn)，如果選擇靠近圓心的磁道作為第一道磁道，那么由于該磁道太短，而使得一個圓周無法寫出太多的1 B弧長（比特數(shù)），進(jìn)而影響了同一扇區(qū)內(nèi)較長磁道的利用；反之，如果第一磁道距離圓心太遠(yuǎn)，又不利于更多磁道的利用.而本題極值的意義恰恰就在于磁道數(shù)與每磁道比特數(shù)的積的最大值.通過這種數(shù)學(xué)模型的建立與反思，學(xué)生往往可以有效地生成模型意識，而通過求導(dǎo)來求極值的數(shù)學(xué)能力，也會在此過程中悄然形成.
又如，在當(dāng)前比較熱門的房貸問題中，也運用到微積分的相關(guān)知識，更用到數(shù)學(xué)建模的思想.眾所周知，房貸還息有兩種方式：一是等額本金，一是等額本息.依據(jù)這兩種還款方式的不同，設(shè)某人貸款額為A，利息為m，還款月數(shù)為n，月還款額為x.根據(jù)還款要求，兩種方式可以分別生成這樣的數(shù)學(xué)模型：
x1=Am（1+m）n（1+m）n-1，
x2=Amemnemn-1.
顯然，可以通過微積分的相關(guān)知識對兩式求解并比較出x1和x2的大小，從而判斷哪種還款方式更為合理.在這個例子當(dāng)中，學(xué)生思維的關(guān)鍵點在于對兩種還款方式進(jìn)行數(shù)學(xué)角度的分析，即將還款的相關(guān)因子整合到一個數(shù)學(xué)式子當(dāng)中去，然后求解.實際上本題還可以進(jìn)一步升級，即通過考慮貸款利率與理財利率，甚至CPI，來考慮貸款基數(shù)與利差關(guān)系，以求最大收益.這樣可以讓實際問題變得更為復(fù)雜，所建立的數(shù)學(xué)模型與所列出的收益公式自然也就更為復(fù)雜，但同樣能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.限于篇幅，此不贅述.
三、大學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)淺思
在實際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模有兩步必走：
一是數(shù)學(xué)建模本身的模式化過程.依托具體的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)建模作為教學(xué)重點，必須遵循這樣的四個步驟：合理分析；建立模型；分析模型；解釋驗證.其中合理分析是對實際事物的建模要素的提取，所謂合理，即是要從數(shù)學(xué)邏輯的角度分析研究對象中存在的邏輯聯(lián)系，所謂分析即將無關(guān)因素去除；建立模型實際上是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，將實際事物對象抽象成數(shù)學(xué)對象，用數(shù)學(xué)模型去描述實際事物，將實際問題中的已知與未知關(guān)系轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)上的已知條件與待求問題；在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)知識去求解；解釋驗證更多的是根據(jù)結(jié)果來判斷模型的合理程度.通常情況下，課堂上學(xué)生建立的模型有教師的判斷作楸Ｖぃ因而合理程度較高，而如果讓學(xué)生在課后采集現(xiàn)實問題并利用數(shù)學(xué)建模的思路去求解，則往往受建立模型過程中考慮因素是否全面，以及數(shù)學(xué)工具的運用是否合理等因素影響，極有可能出現(xiàn)數(shù)學(xué)模型不夠精確的情形.這個時候，解釋驗證就是極為重要的一個步驟，而如果模型不恰當(dāng)，則需要重走這四個步驟，于是數(shù)學(xué)模型的建立就成為一個類似于課題研究的過程，這對于大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，也是一個必需的過程.
二是必須基于具體知識去引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模作為一種數(shù)學(xué)思想，只有與具體實例結(jié)合起來才有其生命力.在微積分教學(xué)中之所以如此重視建模及應(yīng)用，一個重要原因就是微積分知識本身過于抽象.事實表明，即使進(jìn)入高校，學(xué)生的思維仍然不足以支撐這樣的抽象的數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建，必須結(jié)合具體實例，讓學(xué)生依靠數(shù)學(xué)模型去進(jìn)行思考.因此，基于具體數(shù)學(xué)知識與實際問題的教學(xué)，可以讓學(xué)生在知識構(gòu)建中理解數(shù)學(xué)模型，在模型生成中強(qiáng)化知識構(gòu)建，知識與數(shù)模之間存在著相互促進(jìn)的關(guān)系，而這也是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型應(yīng)用的較好境界.
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