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關(guān)于冪級(jí)數(shù)求和的探討
導(dǎo)語：冪級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，而其中有關(guān)冪級(jí)數(shù)求和問題是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn).以下是小編給大家整理的大學(xué)數(shù)學(xué)，歡迎大家參考！
例1 求冪級(jí)數(shù)∑∞[]n=0xn[]n+1的和函數(shù).
解 先求收斂域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1.
在端點(diǎn)x=-1處，冪級(jí)數(shù)成為∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；
在端點(diǎn)x=1處，冪級(jí)數(shù)成為∑∞[]n=01[]n+1，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)镮=[-1，1].
設(shè)和函數(shù)為s（x），即
s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）
于是
xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1.（2）
利用性質(zhì)3，逐項(xiàng)求導(dǎo)，并由
1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…，（-1 得
[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（|x|<1）.（4）
對(duì)上式從0到x積分，得
xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）
于是，當(dāng)x≠0時(shí)，有s（x）=-1[]xln（1-x），
而s（0）可由s（0）=a0=1得出，
故
s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），
1，x=0.（6）
一、錯(cuò)誤及原因分析
1.忽略冪級(jí)數(shù)的起始項(xiàng)
例如在求解冪級(jí)數(shù)∑∞[]n=1xn的和函數(shù)時(shí)，有學(xué)生就很容易將其和函數(shù)寫為s（x）=1[]1-x，而事實(shí)上其和應(yīng)該為s（x）=x[]1-x.該錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因在于學(xué)生忽略了冪級(jí)數(shù)的起始項(xiàng)，習(xí)慣性的把第一項(xiàng)默認(rèn)為1.
2.忽略和函數(shù)的定義域
產(chǎn)生該錯(cuò)誤的原因，主要是學(xué)生對(duì)和函數(shù)的概念理解不透徹.無窮多項(xiàng)求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數(shù)時(shí)，首先要判斷在哪些點(diǎn)處和是存在的，這些點(diǎn)的集合就是和函數(shù)的定義域，即冪級(jí)數(shù)的收斂域.
3.錯(cuò)誤地給出和函數(shù)的定義域，即冪級(jí)數(shù)的收斂域
該錯(cuò)誤的產(chǎn)生主要源于利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)時(shí)，忽略了收斂域的變化.上述例子中的（5）式就出現(xiàn)了這方面的錯(cuò)誤.
4.忽略了收斂域中的特殊點(diǎn)
在上述例子式中，利用（5）求s（x）時(shí)，需要在等式兩邊同時(shí)除以x.此時(shí)，當(dāng)x≠0時(shí)，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，對(duì)x=0還要單獨(dú)求解s（0）.
二、求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問題及應(yīng)對(duì)措施
1.標(biāo)注和函數(shù)的定義域
和函數(shù)的定義域不同于一般函數(shù)的定義域，其定義域事實(shí)上為與和函數(shù)相對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)的收斂域，因此在和函數(shù)表達(dá)式之后應(yīng)正確標(biāo)注x的取值范圍，即和函數(shù)的定義域.為避免在這里出現(xiàn)錯(cuò)誤，在求解和函數(shù)時(shí)，應(yīng)首先求出所求冪級(jí)數(shù)的收斂域.嚴(yán)格按照先求收斂域再求和函數(shù)的步驟求解能很好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）.
2.注意收斂域與級(jí)數(shù)的匹配
利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)是解決冪級(jí)數(shù)求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性質(zhì)2和性質(zhì)3，簡(jiǎn)稱為逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).但這兩條性質(zhì)都只說明變化后的級(jí)數(shù)其收斂半徑不發(fā)生變化，未對(duì)收斂域的情況進(jìn)行詳細(xì)說明.事實(shí)上，逐項(xiàng)積分后所得冪級(jí)數(shù)的收斂域有可能擴(kuò)大，即有可能把收斂區(qū)間的端點(diǎn)包含進(jìn)來；逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得冪級(jí)數(shù)的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點(diǎn)去掉.應(yīng)對(duì)這一問題，只需要在利用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積時(shí)，對(duì)端點(diǎn)處的收斂性重新判斷即可.
3.注意等式變化過程中x的取值問題
比如在（5）式中，求解s（x）時(shí)，需要在等式兩邊同時(shí)除以x.此時(shí)x不能取零，但x=0又是收斂域中的點(diǎn)，因此需單獨(dú)求解s（0）.對(duì)這一問題，需要在等式變化過程中，關(guān)注x的取值變化.對(duì)收斂域中不能取到的點(diǎn)x0，應(yīng)單獨(dú)求解s（x0）.可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.方法二：利用和函數(shù)的連續(xù)性求解x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.
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