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          二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

          時(shí)間:2021-01-08 18:30:05 高中數(shù)學(xué) 我要投稿

          二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式

            導(dǎo)語(yǔ):函數(shù)在數(shù)學(xué)中占有很大的比例,但是函數(shù)的學(xué)習(xí)卻很復(fù)雜。其考察的內(nèi)容有很多方面,開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及坐標(biāo)公式都是考察的重點(diǎn)。下面小編為大家整理了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)公式,希望能幫到大家。

            一、基本簡(jiǎn)介

            一般地,我們把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù),其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù),b為一次項(xiàng)系數(shù),c為常數(shù)項(xiàng)。x為自變量,y為因變量。等號(hào)右邊自變量的最高次數(shù)是2。

            主要特點(diǎn)

            “變量”不同于“未知數(shù)”,不能說(shuō)“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的'多項(xiàng)式函數(shù)”!拔粗獢(shù)”只是一個(gè)數(shù)(具體值未知,但是只取一個(gè)值),“變量”可在一定范圍內(nèi)任意取值。 在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù),但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù),一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況),但是函數(shù)中的字母表示的是變量,意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關(guān)系。

            二次函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)的情況

            當(dāng)△=b-4ac>0時(shí),函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

            當(dāng)△=b-4ac=0時(shí),函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。

            當(dāng)△=b-4ac<0時(shí),函數(shù)圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

            二、二次函數(shù)圖像

            在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。 如果所畫圖形準(zhǔn)確無(wú)誤,那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。

            軸對(duì)稱

            二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a

            對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。

            特別地,當(dāng)b=0時(shí),二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)。

            a,b同號(hào),對(duì)稱軸在y軸左側(cè).

            a,b異號(hào),對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

            頂點(diǎn)

            二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b/4a).

            當(dāng)h=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)k=0時(shí),P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)+k。

            h=-b/2a, k=(4ac-b)/4a。

            開(kāi)口方向和大小

            二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向和大小。

            當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開(kāi)口。

            |a|越大,則二次函數(shù)圖像的開(kāi)口越小。

            決定對(duì)稱軸位置的因素 折疊

            一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

            當(dāng)a>0,與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左; 因?yàn)閷?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同號(hào)

            當(dāng)a>0,與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0,也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要異號(hào)

            可簡(jiǎn)單記憶為左同右異,即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0 ),對(duì)稱軸在y軸右。

            事實(shí)上,b有其自身的幾何意義:二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

            決定與y軸交點(diǎn)的因素

            常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。

            二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,C)

            注意:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k), 與y軸交于(0,C)。

            與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

            a<0;k>0或a>0;k<0時(shí),二次函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

            k=0時(shí),二次函數(shù)圖像與x軸只有1個(gè)交點(diǎn)。

            a<0;k<0或a>0,k>0時(shí),二次函數(shù)圖像與X軸無(wú)交點(diǎn)。

            當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k,在x

            當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k,在x

            當(dāng)h=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸,這時(shí),函數(shù)是偶函數(shù)

            三、二次函數(shù)公式匯總:交點(diǎn)式、兩根式

            一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:

            (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

            (2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0)。

            (3)交點(diǎn)式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)

            (4)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,a≠0.

            說(shuō)明:

            (1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),h=0時(shí),拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí),拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí),拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

            (2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí),即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1和x2存在時(shí),根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)。

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