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2017精選關(guān)于勾股定理重點(diǎn)知識點(diǎn)
導(dǎo)語：勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。下面是小編為大家整理的，數(shù)學(xué)知識，更多相關(guān)信息請關(guān)CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)!
一、勾股定理與逆定理
A.勾股定理
在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方。如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的變形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊。
B.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。
說明：
�、俟垂啥ɡ淼哪娑ɡ眚�(yàn)證利用了三角形的全等。
�、诠垂啥ɡ淼哪娑ɡ韺�(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形。必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷。
(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個角是不是直角。然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題。
注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形;否則不是。
面積分割法、構(gòu)造直角三角形
二、實(shí)數(shù)與數(shù)軸
1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系。
任意一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示;反之，數(shù)軸上的任意一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)。數(shù)軸上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)。
2、在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。
3、利用數(shù)軸可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小。
三、矩形的性質(zhì)
1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。
2、矩形的性質(zhì)
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;
�、诮牵壕匦蔚乃膫�角都是直角;
�、圻叄亨忂叴怪�;
�、軐蔷�：矩形的對角線相等;
�、菥匦问禽S對稱圖形，又是中心對稱圖形。它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線;對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)。
(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
四、等腰三角形的性質(zhì)
(1)等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。
(2)等腰三角形的性質(zhì)
�、俚妊切蔚膬裳嗟�
�、诘妊切蔚膬蓚�底角相等�！竞喎Q：等邊對等角】
�、鄣妊切蔚捻斀瞧椒志�、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。【三線合一】
(3)在①等腰;②底邊上的高;③底邊上的中線;④頂角平分線。以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論。
等邊三角形的性質(zhì)
(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。
�、偎梢宰鳛榕卸ㄒ粋�三角形是否為等邊三角形的方法;
②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況。在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的的。
(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60° 。
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸;它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸。
五、三角形的外角性質(zhì)
(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
三角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對。
(2)三角形的外角性質(zhì)：
�、偃切蔚耐饨呛蜑�360°。
�、谌切蔚囊粋�外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。
�、廴切蔚囊粋�外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角。
(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去。
(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角。
三角形內(nèi)角和定理
(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角。每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°。
(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180° 。
(3)三角形內(nèi)角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角。在轉(zhuǎn)化中借助平行線。
(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
主要用在求三角形中角的度數(shù)。①直接根據(jù)兩已知角求第三個角;②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角;③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角。
六、翻折變換(折疊問題)
1、翻折變換(折疊問題)實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換。
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等。
3、在解決實(shí)際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系.
首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件。解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案。我們運(yùn)用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)。
七、弧長的計算
(1)圓周長公式：C=2πR
(2)弧長公式：l=nπR180(弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R)
�、僭诨￠L的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位。
�、谌魣A心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長。
�、垲}設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示。
�、苷_區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一。
八、多邊形
(1)多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
(2)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。
(3)正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
(4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)。②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形。
(5)重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心。 常見圖形的重心(1)線段：中點(diǎn)(2)平行四邊形：對角線的交點(diǎn)(3)三角形：三邊中線的交點(diǎn)(4)任意多邊形
九、三角形三邊關(guān)系
(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊。
(2)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形。
(3)三角形的兩邊差小于第三邊。
(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略。
十、軸對稱-最短路線問題
1、最短路線問題
在直線L上的同側(cè)有兩個點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)。
2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)。
十一、線段垂直平分線的性質(zhì)
(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)垂直平分線，簡稱“中垂線”。
(2)性質(zhì)：
�、俅怪逼椒志�垂直且平分其所在線段。
②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。
③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。
十二、矩形的性質(zhì)
(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。
(2)矩形的性質(zhì)
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;
�、诮牵壕匦蔚乃膫�角都是直角;
�、圻叄亨忂叴怪�;
�、軐蔷�：矩形的對角線相等;
⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線;對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)。
(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
十三、三角形中位線定理
(1)三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
(2)幾何語言：
如圖，
∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) ∴CE∥BC ， DE=BC
十四、全等三角形的判定與性質(zhì)
(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具。在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件。
(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形。
十五、正方形的性質(zhì)
(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
(2)正方形的性質(zhì)
�、僬叫蔚乃臈l邊都相等，四個角都是直角;
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角;
�、壅叫尉哂兴倪呅�、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸。
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