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高中數(shù)學(xué)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)
導(dǎo)語(yǔ)：知識(shí)好像砂石下的泉水，掘得越深，泉水越清。下面是小編為大家整理的,高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，更多相關(guān)信息請(qǐng)關(guān)注CNFLA的相關(guān)欄目!
1不等式與不等式組的數(shù)軸穿根解法
數(shù)軸穿根：用根軸發(fā)解高次不等式時(shí)，就是先把不等式一端化為零，再對(duì)另一端分解因式，并求出它的零點(diǎn)，把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，一次穿過(guò)這些零點(diǎn)，這大于零的不等式地接對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上放部分的實(shí)數(shù)x得起值集合，小于零的這相反。
做法：
1.把所有X前的系數(shù)都變成正的(不用是1,但是得是正的);
2.畫(huà)數(shù)軸,在數(shù)軸上從小到大依次標(biāo)出所有根;
3.從右上角開(kāi)始,一上一下依次穿過(guò)不等式的根，奇過(guò)偶不過(guò)(即遇到含X的項(xiàng)是奇次冪就穿過(guò),偶次冪跨過(guò)，后面有詳細(xì)介紹);
4.注意看看題中不等號(hào)有沒(méi)有等號(hào),沒(méi)有的話還要注意寫(xiě)結(jié)果時(shí)舍去使使不等式為0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次項(xiàng)系數(shù)一定要為正，不為正要化成正的)
�、狈纸庖蚴�:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
�、钞�(huà)數(shù)軸,并把根所在的點(diǎn)標(biāo)上去;
�、醋⒁饬�,這時(shí)候從最右邊開(kāi)始,從2的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，繼續(xù)向左畫(huà),類(lèi)似于拋物線，再經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，向點(diǎn)1的左上方無(wú)限延伸;
⒌看題求解,題中要求求≤0的解，那么只需要在數(shù)軸上看看哪一段在數(shù)軸及數(shù)軸以下即可,觀察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一樣.比方說(shuō)一個(gè)分解因式之后的不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
一樣先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根
x=0，x=1，x=-2，x=3
在數(shù)軸上依次標(biāo)出這些點(diǎn).還是從最右邊的一點(diǎn)3的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,在1、3之間類(lèi)似于一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1;繼續(xù)向點(diǎn)1的左上方延伸，這條曲線在點(diǎn)0、1之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向下的曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0;繼續(xù)向0的左下方延伸，在0、-2之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2;繼續(xù)向點(diǎn)-2的左上方無(wú)限延伸。
方程中要求的是>0，
只需要觀察曲線在數(shù)軸上方的部分所取的x的范圍就行了。
x<-2或03。
�、庞龅礁欠�?jǐn)?shù)或無(wú)理數(shù)和遇到整數(shù)時(shí)的處理方法是一樣的,都是在數(shù)軸上把這個(gè)根的位置標(biāo)出來(lái);
⑵“奇過(guò)偶不過(guò)”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某個(gè)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)或者偶數(shù);
比如對(duì)于不等式(X-2)2(X-3)>0
(X-2)的指數(shù)是2,是偶數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就不穿過(guò)2這個(gè)點(diǎn)，
而(X-3)的指數(shù)是1,是奇數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就要穿過(guò)3這個(gè)點(diǎn)。
1高中數(shù)學(xué)不等式與不等式組的解法
1.一元一次不等式的解法
任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過(guò)變形后都可以化為ax>b或axb而言，當(dāng)a>0時(shí)，其解集為(ab，+∞)，當(dāng)a<0時(shí)，其解集為(-∞，ba)，當(dāng)a=0時(shí)，b<0時(shí)，期解集為R，當(dāng)a=0，b≥0時(shí)，其解集為空集。
例1：解關(guān)于x的不等式ax-2>b+2x
解：原不等式化為(a-2)x>b+2
�、佼�(dāng)a>2時(shí)，其解集為(b+2a-2，+∞)
②當(dāng)a<2時(shí)，其解集為(-∞，b+2a-2)
�、郛�(dāng)a=2，b≥-2時(shí)，其解集為φ
④當(dāng)a=2且b<-2時(shí)，其解集為R.
2.一元二次不等式的解法
任何一個(gè)一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判別式法來(lái)判斷解集的各種情形(空集，全體實(shí)數(shù)，部分實(shí)數(shù))，如果是空集或?qū)崝?shù)集，那么不等式已經(jīng)解出，如果是部分實(shí)數(shù)，則根據(jù)“大于號(hào)取兩根之外，小于號(hào)取兩根中間”分別寫(xiě)出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解：△=16-16a
①當(dāng)a>1時(shí)，△<0，其解集為R
�、诋�(dāng)a=1時(shí)，△=0，則x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)
③當(dāng)a<1時(shí)，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)
3.不等式組的解法
將不等式中每個(gè)不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式組m2+4m-5>0(1)
m 2+4m-12<0(2)
解：由①得m<-5或m>1
由②得-6，故原不等式組的解集為(-6，-5)∪(1，2)
4.分式不等式的解法
任何一個(gè)分式不等都可化為f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后討論分子分母的符號(hào)，得兩個(gè)不等式組，求得這兩個(gè)不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.
例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2
解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-1>0
它等價(jià)于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).
故原不等式的解集為(-1，43).
5.含有絕對(duì)值不等式的解法
去絕對(duì)值號(hào)的主要依據(jù)是：根據(jù)絕對(duì)值的定義或性質(zhì)，先將含有絕對(duì)值的不等式中的絕對(duì)值號(hào)去掉，化為不含絕對(duì)值的不等式，然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|x|0)?-a解：原不等式等價(jià)于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②
解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集為[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].
例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解：原不等式等價(jià)于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2
解：①當(dāng)x≤-1時(shí)，原不等式變?yōu)?x-1-x<2 ∴-32 ②當(dāng)-1 ∴-1 ③當(dāng)x>0時(shí)，原不等式變?yōu)閤+1+x<2.
∴解得0 綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解：①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式變?yōu)閤2-3x+2+x2-4x+3>2，此時(shí)解集為{x|x<12}.
�、诋�(dāng)12，此時(shí)解集為空集。
③當(dāng)22，此時(shí)的解集是空集。
�、墚�(dāng)x>3時(shí)，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時(shí)的解集為{x|x>3}.
綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個(gè)例子可以看出，解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值的不等式，一般是先找出一些關(guān)鍵數(shù)(如例7的關(guān)鍵數(shù)是-1，0;例8中的關(guān)鍵數(shù)是1，2，3)這些關(guān)鍵數(shù)將實(shí)數(shù)劃分為幾個(gè)區(qū)間，在這些區(qū)間上，可以根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值號(hào)，從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，應(yīng)當(dāng)注意的是，在解這些不等式時(shí)，應(yīng)該求出交集，最后綜合各區(qū)間的解集寫(xiě)出答案。
6.無(wú)理不等式的解法
無(wú)理不等式f(x)>g(x)的解集為不等式組(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
無(wú)理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化為：2x+5>x+1 由此得不等式組(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集為[-52，2].
7.指數(shù)不等式的解法
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。
例10.解不等式：9x>(3)x+2
解：原不等式化為 3 2x>3x+22
∴2x>x+22即x>23
故原不等式解集為(23 ，+∞).
8.對(duì)數(shù)不等式的解法
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。
例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)>0
解：原不等式化為log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1，1-52)∪(1+52，2).
9.簡(jiǎn)單高次不等式的解法
簡(jiǎn)單高次不等式可以利用數(shù)軸標(biāo)根法來(lái)解不等式.
例12：解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解：原不等式化為：(x+1)(x-1)(x-4)<0
如圖，由數(shù)軸標(biāo)根法可得原不等式解集為(-∞，-1)∪(1，4)
10.三角不等式的解法
根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，先求出在同一周期內(nèi)的解集，然后寫(xiě)出通值。
例13：解不等式：sinx≤-12
解：sinx≤-12在[0，2π]內(nèi)的解是：76 π≤x≤116π
故原不等式的解集為[2kπ+76 ，2kπ+116 ](k∈z)。
11.含有字母系數(shù)不等式的解法
在解不等式過(guò)程中，還常常遇到含有字母系數(shù)的一些不等式，此時(shí)，一定要注意字母系數(shù)進(jìn)行討論，以保證解題的完備性。
例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式變形為2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等價(jià)于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
�、佼�(dāng)a≤0時(shí)，x<0;
�、诋�(dāng)0 ③當(dāng)a=1時(shí)，無(wú)解
�、墚�(dāng)a>1時(shí)，0 解不等式的基礎(chǔ)是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式(三角不等式除外)關(guān)鍵在于根據(jù)有關(guān)的定義，定理，性質(zhì)轉(zhuǎn)化這些不等式為上述三類(lèi)不等式。在具體轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，特別應(yīng)該注意每一步都應(yīng)是同解變形。像無(wú)理不等式中的開(kāi)偶次方時(shí)的被開(kāi)方數(shù)及對(duì)數(shù)不等式中的真數(shù)等，在去根號(hào)和去對(duì)數(shù)符號(hào)時(shí)，一定要使被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，真數(shù)大于零。
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