高二數(shù)學(xué)空間向量的定義及公式
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基本定理
1共線向量定理
兩個空間向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使a=λb
2共面向量定理
如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一的'一對實數(shù)x,y,使c=ax+by
3空間向量分解定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。
常識
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位于平面MAB的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y，使得PM=xPA+yPB
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1)，則四點P、A、B、C共面.
3、利用向量證a∥b，就是分別在a，b上取向量a=λb(λ∈R).
4、利用向量證a⊥b，就是分別在a，b上取向量a·b=0 .
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 a,b，求：
6、利用向量求距離即求向量的模問題.
7、利用坐標(biāo)法研究線面關(guān)系或求角和距離，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，正確表達已知點的坐標(biāo).
計算
第一步：
按照圖形建立三維坐標(biāo)系O-xyz
之后，將點的坐標(biāo)帶進去，求出所需向量的坐標(biāo)。
第二步：
求平面的法向量：
令法向量n=(x,y,z)
因為法向量垂直于此平面
所以n垂直于此面內(nèi)兩相交直線(其方向向量為a，b)
可列出兩個方程 n·a=0,n·b=0
兩個方程，三個未知數(shù)
然后根據(jù)計算方便
取z(或x或y)等于一個數(shù)(如：1，√2等)
代入即可求出面的一個法向量n的坐標(biāo)了.
會求法向量后
1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的余角或者夾角減去π/2.
2.點到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外)一點，
求出平面外那點和你所取的那點所構(gòu)成的向量，記為a
點到平面的距離就是法向量n與a的數(shù)量積的絕對值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.
3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量
可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數(shù)量積除以兩向量模的乘積 ：cos
那么二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。
4.設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν 則
線線平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb
線面平行 l∥α<=>a⊥μ <=>a·μ=0
面面平行 α∥β<=>μ∥ν <=>μ=kν
線線垂直 l⊥m<=>a⊥b <=>a·b=0
線面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ
面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν <=>μ·ν=0
5.向量的坐標(biāo)運算：設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則
1.|a|=√(x1²+y1²)
2.a+b=(x1+x2,y1+y2)
3.a-b=(x1-x2,y1-y2)
4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)
5.a·b=x1x2+y1y2
6.a∥b<=> x1y2=x2y1(一般寫為：x1y2-x2y1=0)
7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2=0
8.cos
注：x1中的1為下標(biāo)，以此類推
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