有關數(shù)學軸對稱的教學教案設計
本章概述
本章主要從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性質，欣賞、體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用.在此基礎上，利用軸對稱探索等腰三角形的性質及其判定方法，進一步學習等邊三角形的性質和判定.
軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學知識與現(xiàn)實聯(lián)系的重要內容.本章內容是上一章內容的繼續(xù).又是后面學習四邊形、圓的基礎，所以學好本節(jié)知識至關重要.本節(jié)中涉及軸對稱、等腰三角形、等邊三角形、垂直平分線等重要概念，涉及等腰三角形“等邊對等角”、“三線合一”等重要性質，在學習時應特別注意.
本章學習重難點
【本章重點】
1.軸對稱的概念和性質和判定.
2.等腰(或等邊)三角形的性質和判定.
【本章難點】1.利用軸對稱的性質進行圖案設計.
2.書寫推理證明過程.
學法指導
1.注意聯(lián)系實際，通過觀察、動手操作等直觀方式掌握軸對稱及等腰三角形的性質和判定，利用軸對稱的觀點解釋生活中的有關現(xiàn)象，設計圖案選擇最佳方案等，體現(xiàn)知識的應用，體現(xiàn)具體——抽象——具體的過程.
2.注意知識間的聯(lián)系.圖形的軸對稱變換、圖形與坐標、圖形的證明在本章都有涉及，注意各部分知識之間的聯(lián)系，把所學知識納入已有的知識體系.
3.注意體會轉化思想、類比思想、分類討論思想在本章學習中的應用.
知識網(wǎng)絡結構圖
專題總結及應用
一、知識性專題
專題1 軸對稱及軸對稱圖形
【專題解讀】 此部分內容是近幾年中考中常見的題型，也是新題型之一，解題的依據(jù)主要是軸對稱及軸對稱的性質.
例1如圖12-112所示的是小方畫的正方形風箏圖案，她以圖中的對角線所在直線為對稱軸，在對角線的下方畫一個三角形，使得新的風箏圖案成為軸對稱圖形，若如圖12-113所示的圖形中有一圖形為此軸對稱圖形，則此圖為()
分析 本題主要考查軸對稱圖形的性質，即對應點連線被對稱軸垂直平分，只有C為軸對稱圖形.故選C.
規(guī)律方法 判斷某圖形是否為軸對稱圖形(或兩個圖形是否成軸對稱)，關鍵是能否找到一條直線可將這個圖形(或兩個圖形)沿著這條直線對折，使對折后的兩部分(或兩個圖形)重合.
專題2 利用軸對稱變換作軸對稱變換后的圖形及設計方案
【專題解讀】利用軸對稱變換設計精美圖案，當對稱軸改變方向時，原圖形的對稱圖形也改變方向，一個圖形經(jīng)過若干次軸對稱變換，再結合平移、旋轉等.就可以得到非常美麗的圖案.
例2 如圖12-114①所示，給出了一個圖案的一半，其中的虛線就是這個圖案的對稱軸，請畫出這個圖案的另一半.
解：如圖12-114②所示.
【解題策略】先作出特殊點的對稱點，然后連接即可.
專題3 等腰三角形的性質和判定
【專題解讀】等腰三角形的性質和判定可以用來證明角相等、線段相等以及線段垂直，這是幾何證明中最重要的知識之一，它經(jīng)常與其他幾何知識(如四邊形、圓等)綜合在一起考查.
例3 如圖12-115所示，AB=AC，E，D分別在AB，AC上，BD和CE相交于點F，且∠ABD=∠ACE.求證BF=CF.
分析 本題綜合考查等腰三角形的性質和判定.由于AB=AC，所以作輔助線BC，則可以構造等腰三角形，從而利用等腰三角形的性質解決問題.
證明：連接BC，
∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC(等邊對等角).
又∵∠ACE=∠ABD，∴∠FCB=∠FBC.
∴BF=CF(等角對等邊).
【解題策略】本題解題時靈活運用了等腰三角形的性質和判定，也可以連輔助線AF，來證明BF=CF，用這個方法證明要用到三角形全等，比較麻煩.
專題4等邊三角形的性質和判定
【專題解讀】 等邊三角形是一個很特殊的三角形，它的三邊都相等，三個角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的幾何證明題中都會用到.
例4 如圖12-116所示，AD是△ABC的中線，∠ADC=60°，BC=4，若將△ADC沿直線AD折疊，則C點落在點E的位置上，求BE的長.
分析 本題綜合考查軸對稱和等邊三角形的判定和性質.
解：由折疊得∠ADE=∠ADC=60°，CD=DE.
又∵BD=DC，∴DE=BD.
∵∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠BDE=180°-60°-60°=60°.
∴△BDE為等邊三角形.
∴BE=BD=BC=2.
【解題策略】 本題運用了“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”這一判定方法.
專題5含30°角的`直角三角形的性質與等腰三角形的綜合應用
【專題解讀】直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，這條性質在實際生活中有著廣泛的應用.由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角邊和斜邊的關系.
例5 如圖12-117所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點D.求證BE=3AD.
分析 本題綜合考查等腰三角形的性質和判定，以及直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半的性質.
證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).
又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.
∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.∴∠B=∠BAD.
∴BD=AD(等角對等邊).
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴CD=2AD.
∴BC=BD+CD=AD+2AD=3AD.
二、規(guī)律方法專題
專題6 正確作輔助線解決問題
【專題解讀】本章涉及等腰三角形的性質、角平分線及線段的垂直平分線的性質，做題時可通過添加適當?shù)妮o助線由全等等知識獲得結論.
例6 如圖12-118所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求證BF=DC.
證明：連接AE.
∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°.
∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE(HL)，∴BE=ED.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.
∴∠C=45°.
∵∠EDC=90°，∴∠C=∠DEC=45°.
∴DE=DC，∴BE=DC.
例7 如圖12-119所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一點E，在AC的延長線上取一點F，使BE=CF，EF交BC于G.求證EG=FG.
證明：過E作EM∥AC，交BC于點M，
則∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.
又∵BE=CF，∴EM=FC.
在△MEG和△CFG中，
∴△MEG≌△CFG(AAS).
∴EG=FG.
三、思想方法專題
專題7 分類討論思想
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的邊、角的計算，應通過題意探討其可能存在的情況，運用相關知識一一討論不難獲得結論.
例8 已知等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為13cm和15cm兩部分，試求此等腰三角形的腰長和底邊長.
分析這是一類常見的等腰三角形分類討論的問題，解題時應注意到分為13cm和15cm兩部分時的兩種可能情形，進行分類討論即可.
解：如圖12-120所示，AB=AC，D為AC的中點，
所以AD=CD，
由題意知或
解得AB=AC=，BC=或AB=AC=10，BC=8.
即此等腰三角形的腰長與底邊長分別為cm，cm或10cm，8cm.
規(guī)律方法 本題的分類討論既可以說是來源于不同的圖形.也可以說是來源于題設中的“不明確”，解題過程應從題設中挖掘出類似的信息，以使解答完整.
專題8 數(shù)形結合思想
【專題解讀】 數(shù)形結合思想是比較常用的數(shù)學思想，在解有關三角形的問題時顯得尤為重要.
例9(開放題)如圖12-121所示，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需添加的條件是 .
分析從確定△ADE是等腰三角形著眼，若∠ADE=∠AED，可得AD=AE，除此以外還可加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE.故填∠ADE=∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE(答案不唯一).
例10(探究題)如圖12-122所示，線段OP的一個端點O在直線a上，以OP為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫幾個?
分析 以OP為一邊畫等腰三角形，要考慮OP作腰和OP作底邊兩種情況.
解：(1)當OP作等腰三角形的腰時，分O作頂點和P作頂點兩種情況.當O作頂點，OP作腰時，則以O為圓心，OP為半徑畫弧，與直線a交于M1，M2兩點，則△OPM1和△OPM2都是等腰三角形;當P作頂點，PO作腰時，則以P為圓心，PO為半徑畫弧，交直線a于M3，則△POM3為等腰三角形.(2)當OP作等腰三角形的底邊時，作OP的垂直平分線交直線a于M4，則△OPM4為等腰三角形.
所以這樣的等腰三角形能畫4個.如圖12-123所示.
例11(動手操作題)如圖12-124①所示，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照圖①請你再用兩種不同的方法，將△ABC分割成3個三角形，使每個三角形都是等腰三角形(作圖工具不限，不寫作法和證明，但要標出所分得的每個等腰三角形的內角的度數(shù)).
分析 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，所以∠B=∠C=72°.所以分割出的等腰三角形的底角或頂角為36°，72°，108°，18°，144°，以這些度數(shù)為基礎設計分割方案，便可得出符合條件的圖形.
解：如圖12-124②③④⑤所示均符合要求.
【有關數(shù)學軸對稱的教學教案設計】相關文章：
初中數(shù)學知識點：軸對稱11-28
初中數(shù)學知識點歸納：軸對稱11-09
初中數(shù)學知識點歸納之軸對稱11-23
軸對稱花草剪紙步驟10-14
軸對稱圖案剪紙教程09-22
軸對稱蝴蝶簡筆畫02-28
高一數(shù)學《指對數(shù)的運算》教案設計12-07
軸對稱精美剪紙步驟—蜻蜓的剪法10-02
軸對稱圖案剪紙教程大全01-16