高二數(shù)學(xué)必修4試講教案
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能
�。�1）推廣角的概念、引入大于角和負(fù)角；
�。�2）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；
�。�3）理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；
�。�5）樹立運(yùn)動變化觀點(diǎn)，深刻理解推廣后的角的概念；
�。�6）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.
�。�7）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.
2、過程與方法
通過創(chuàng)設(shè)情境：“轉(zhuǎn)體，逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)”，角有大于角、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負(fù)角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個(gè)終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).
3、情態(tài)與價(jià)值
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對角的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識，即有正角、負(fù)角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關(guān)系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學(xué)會運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)認(rèn)識事物.
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn): 理解正角、負(fù)角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.
難點(diǎn): 終邊相同的角的表示.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
之前的學(xué)習(xí)使我們知道最大的角是周角,最小的角是零角.通過回憶和觀察日常生活中實(shí)際例子,把對角的理解進(jìn)行了推廣.把角放入坐標(biāo)系環(huán)境中以后,了解象限角的概念.通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法.我們在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),首先要弄清楚角的表示符號,以及正負(fù)角的表示.另外還有相同終邊角的集合的表示等.
教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)、三角板
四、教學(xué)設(shè)想
【創(chuàng)設(shè)情境】
思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25
小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？
[取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時(shí)轉(zhuǎn)不到一周，有時(shí)轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容——任意角.
【探究新知】
1．初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了角的概念，它是如何定義的呢？
[展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn).
2.如上述情境中所說的校準(zhǔn)時(shí)鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學(xué)們思考一下:能否再舉出幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢?
[展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的`必要性. 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角(positive angle),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角(zero angle).
[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個(gè)正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負(fù)角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any angle）,包括正角、負(fù)角和零角. 為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.
3.在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個(gè)概念.
角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角(quadrant angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第三象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角.
4.[展示投影]練習(xí):
(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個(gè)問題.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期幾? 天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?
5.探究:將角按上述方法放在直角坐標(biāo)系中后,給定一個(gè)角,就有唯一的一條終邊與之對應(yīng).反之,對于直角坐標(biāo)系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?請結(jié)合4.(2)口答加以分析.
[展示課件]不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果的終邊是,那么角的終邊都是,而,.
設(shè),則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.
一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合
,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.
6.[展示投影]例題講評
例1. 例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：是指）
例2.寫出終邊在軸上的角的集合.
例3.寫出終邊直線在上的角的集合,并把中適合不等式
的元素寫出來.
7.[展示投影]練習(xí)
教材第3、4、5題.
注意: （1）；（2）是任意角（正角、負(fù)角、零角）；（3）終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍.
8.學(xué)習(xí)小結(jié)
你知道角是如何推廣的嗎?
象限角是如何定義的呢?
你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在軸、軸、直
線上的角的集合.
五、評價(jià)設(shè)計(jì)
1．作業(yè)：習(xí)題1.1 A組第1,2,3題．
2．多舉出一些日常生活中的“大于的角和負(fù)角”的例子，熟練掌握他們的表示，
進(jìn)一步理解具有相同終邊的角的特點(diǎn)．
1.1.2弧度制
一、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能
�。�1）理解并掌握弧度制的定義；
�。�2）領(lǐng)會弧度制定義的合理性；
�。�3）掌握并運(yùn)用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式；
�。�4）熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的換算；
�。�5）角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立的一一對應(yīng)關(guān)系.
(6) 使學(xué)生通過弧度制的學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系.
2、過程與方法
創(chuàng)設(shè)情境,引入弧度制度量角的大小,通過探究理解并掌握弧度制的定義,領(lǐng)會定義的合理性.根據(jù)弧度制的定義推導(dǎo)并運(yùn)用弧長公式和扇形面積公式.以具體的實(shí)例學(xué)習(xí)角度制與弧度制的互化,能正確使用計(jì)算器.
3、情態(tài)與價(jià)值
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們掌握另一種度量角的單位制---弧度制，理解并認(rèn)識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系.角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系:即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對應(yīng)，為下一節(jié)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好準(zhǔn)備.
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn): 理解并掌握弧度制定義；熟練地進(jìn)行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運(yùn)用.
難點(diǎn): 理解弧度制定義，弧度制的運(yùn)用.
三、學(xué)法與教學(xué)用具
在我們所掌握的知識中，知道角的度量是用角度制，但是為了以后的學(xué)習(xí)，我們引入了弧度制的概念，我們一定要準(zhǔn)確理解弧度制的定義，在理解定義的基礎(chǔ)上熟練掌握角度制與弧度制的互化.
教學(xué)用具:計(jì)算器、投影機(jī)、三角板
四、教學(xué)設(shè)想
【創(chuàng)設(shè)情境】
有人問：�？诘饺齺営卸噙h(yuǎn)時(shí)，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）
顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數(shù)值呢？那是因?yàn)樗捎玫亩攘恐撇煌�，一個(gè)是公里制，一個(gè)是英里制.他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有類似的情況，一個(gè)是角度制，我們已經(jīng)不再陌生,另外一個(gè)就是我們這節(jié)課要研究的角的另外一種度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制規(guī)定：將一個(gè)圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本，自行解決上述問題.
2.弧度制的定義
[展示投影]長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).
3.探究:如圖,半徑為的圓的圓心與原點(diǎn)重合,角的終邊與軸的正半軸重合,交圓于點(diǎn),終邊與圓交于點(diǎn).請完成表格.
弧的長
旋轉(zhuǎn)的方向
的弧度數(shù)
的度數(shù)
逆時(shí)針方向
逆時(shí)針方向
我們知道，角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.
4.思考:如果一個(gè)半徑為的圓的圓心角所對的弧長是,那么的弧度數(shù)是多少?
角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑.
5.根據(jù)探究中填空:
,度
顯然,我們可以由此角度與弧度的換算了.
6.例題講解
例1.按照下列要求,把化成弧度:
精確值；
精確到0.001的近似值.
例2.將3.14換算成角度(用度數(shù)表示,精確到0.001).
注意:角度制與弧度制的換算主要抓住,另外注意計(jì)算器計(jì)算非特殊角的方法.
7. 填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表:
度
弧度
角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系:即每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對應(yīng).
8.例題講評
例3.利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式:
(1); (2); (3).
其中是半徑,是弧長,為圓心角,是扇形的面積.
例4.利用計(jì)算器比較和的大小.
注意:弧度制定義的理解與應(yīng)用,以及角度與弧度的區(qū)別.
9.練習(xí)
教材.
9.學(xué)習(xí)小結(jié)
(1)你知道角弧度制是怎樣規(guī)定的嗎?
(2)弧度制與角度制有何不同,你能熟練做到它們相互間的轉(zhuǎn)化嗎?
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