圓-數(shù)學教案
1、教材分析
�。�1）知識結構
�。�2）重點、難點分析
重點：①點和圓的三種位置關系，圓的有關概念，因為它們是研究圓的基礎；②五種常見的點的軌跡，一是對幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學習作重要的準備.
難點：① 圓的集合定義，學生不容易理解為什么必須滿足兩個條件，內容本身屬于難點；②點的軌跡，由于學生形象思維較強，抽象思維弱，而這部分知識比較抽象和難懂.
2、教法建議
本節(jié)內容需要4課時
第一課時：圓的定義和點和圓的位置關系
（1）讓學生自己畫圓，自己給圓下定義，進行交流，歸納、概括，調動學生積極主動的參與教學活動；對于高層次的學生可以直接通過點的集合來研究，給圓下定義（參看教案圓（一））；
�。�2）點和圓的位置關系，讓學生自己觀察、分類、探究，在“數(shù)形”的過程中，學習新知識.
第二課時：圓的有關概念
�。�1）對（A）層學生放開自學，對（B）層學生在老師引導下自學，要提高學生的學習能力，特別是概念較多而沒有很多發(fā)揮的內容，老師沒必要去講；
�。�2）課堂活動要抓住：由“數(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”，的主線.
第三、四課時：點的軌跡
條件較好的學�？梢岳秒娔X動畫來加深和幫助學生對點的軌跡的理解，一般學�？勺寣W生動手畫圖，使學生在動手、動腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強向抽象思維過度.但我的觀點是不管怎樣組織教學，都要遵循學生是學習的主體這一原則.
第一課時：圓（一）
教學目標：
1、理解圓的描述性定義，了解用集合的觀點對圓的定義；
2、理解點和圓的位置關系和確定圓的條件；
3、培養(yǎng)學生通過動手實踐發(fā)現(xiàn)問題的能力；
4、滲透“觀察→分析→歸納→概括”的數(shù)學思想方法.
教學重點：點和圓的關系
教學難點：以點的集合定義圓所具備的兩個條件
教學方法：自主探討式
教學過程設計(總框架)：
一、 創(chuàng)設情境，開展學習活動
1、讓學生畫圓、描述、交流，得出圓的第一定義：
定義1：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓.固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作“圓O”.
2、讓學生觀察、思考、交流，并在老師的指導下，得出圓的第二定義.
從舊知識中發(fā)現(xiàn)新問題
觀察：
共性：這些點到O點的距離相等
想一想：在平面內還有到O點的距離相等的點嗎？它們構成什么圖形？
（1） 圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑的長r）；
�。�2） 到定點距離等于定長的點都在圓上.
定義2：圓是到定點距離等于定長的點的集合.
3、點和圓的位置關系
問題三：點和圓的位置關系怎樣？（學生自主完成得出結論）
如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：
點在圓上d=r；
點在圓內d<r；
點在圓外d>r.
“數(shù)”“形”
二、 例題分析，變式練習
練習： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點，當OP=6cm時，點A在⊙O________；當OP=10cm時，點A在⊙O________；當OP=18cm時，點A在⊙O___________.
例1 求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.
已知（略）
求證（略）
分析：四邊形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BD
OA=OC=OB=OD
要證A、B、C、D 4個點在以O為圓心的圓上
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形
∴ OA=OC，OB=OD；AC=BD
∴ OA=OC=OB=OD
∴ A、B、C、D 4個點在以O為圓心，OA為半徑的圓上.
符號“”的應用（要求學生了解）
證明：四邊形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個點在以O為圓心，OA為半徑的圓上.
小結：要證幾個點在同一個圓上，可以證明這幾個點與一個定點的距離相等.
問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中（平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些圖形的頂點在同一個圓上.（讓學生探討）
練習1 求證：菱形各邊的中點在同一個圓上.
（目的：培養(yǎng)學生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成）
練習2 設AB=3cm，畫圖說明具有下列性質的點的集合是怎樣的圖形.
(1)和點A的距離等于2cm的點的集合；
(2)和點B的距離等于2cm的點的集合；
(3)和點A，B的距離都等于2cm的點的集合；
(4)和點A，B的距離都小于2cm的點的集合；（A層自主完成）
三、 課堂小結
問：這節(jié)課學習的主要內容是什么？在學習時應注意哪些問題？在學生回答的基礎上，強調：
(1)主要學習了圓的兩種不同的定義方法與圓的三種位置關系；
(2)在用點的集合定義圓時，必須注意應具備兩個條件，二者缺一不可；
(3)注重對數(shù)學能力的培養(yǎng)
四、作業(yè) 82頁2、3、4.
第二課時：圓（二）
教學目標
1、使學生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會運用這些概念判斷真假命題，數(shù)學教案－圓。
2、逐步培養(yǎng)學生閱讀教材、親自動手實踐，總結出新概念的能力；進一步指導學
生觀察、比較、分析、概括知識的能力。
3、通過動手、動腦的全過程，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識。
教學重點、難點和疑點
1、重點：理解圓的有關概念．
2、難點：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．
3、疑點：學生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難，初中數(shù)學教案《數(shù)學教案－圓》。
教學過程設計：
�。ㄒ唬╅喿x、理解
重點概念：
1、弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦．
2、直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑．
3、圓�。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧．簡稱�。�
半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；
優(yōu)�。捍笥诎雸A的弧叫優(yōu)��；
劣弧：小于半圓的弧叫做劣�。�
4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．
5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓．
6、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．
7、等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等�。�
�。ǘ┬〗M交流、師生對話
問題：
1、一個圓有多少條弦？最長的弦是什么？
2、弧分為哪幾種？怎樣表示？
3、弓形與弦有什么區(qū)別？在一個圓中一條弦能得到幾個弓形？
4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？
�。ㄍㄟ^問題，使學生與學生，學生與老師進行交流、學習，加深對概念的理解，排除疑難）
�。ㄈ└拍畋嫖觯�
判斷題目：
（1）直徑是弦（ ） （2）弦是直徑（ ）
�。�3）半圓是弧（ ） （4）弧是半圓（ ）
�。�5）長度相等的兩段弧是等弧（ ） （6）等弧的`長度相等（ ）
�。�7）兩個劣弧之和等于半圓（） （8）半徑相等的兩個半圓是等�。ǎ�
�。ㄖ饕斫庖韵赂拍睿海�1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用．）
�。ㄋ模⿷�、練習
例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有�。�
解：一共有6條�。� 、 、 、 、 、 ．
�。康模鹤寣W生會表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念）
例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑．求證：AD∥BC．
�。ㄓ蓪W生分析，學生寫出證明過程，學生糾正存在問題．鍛煉學生動口、動腦、動手實踐能力，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識．）
鞏固練習：
教材P66練習中2題(學生自己完成)．
�。ㄎ澹┬〗Y
教師引導學生自己做出總結：
1、本節(jié)所學似的知識點；
2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個圖形；④等圓和等�。�
3、弧的表示方法．
�。┳鳂I(yè)
教材P66練習中3題，P82習題l(3)、(4)．
第三、四課時 圓（三）——點的軌跡
教學目標
1、在了解用集合的觀點定義圓的基礎上，進一步使學生了解軌跡的有關概念以及熟悉五種常用的點的軌跡；
2、培養(yǎng)學生從形象思維向抽象思維的過渡；
3、提高學生數(shù)學來源于實踐，反過來又作用于實踐的辯證唯物主義觀點的認識。
重點、難點
1、重點：對圓點的軌跡的認識。
2、難點：對點的軌跡概念的認識，因為這個概念比較抽象。
教學活動設計（在老師與學生的交流對話中完成教學目標）
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設學習情境
1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念
�。ㄊ箤W生在老師的引導下從感性知識到理性知識）
觀察：圓是到定點的距離等于定長的的點的集合；（電腦動畫）
理解：圓上的點具有兩個性質：
(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；
(2)到定點距離等于定長的的點都在圓上；（結合下圖）
引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上．（軌跡的概念非常抽象，是教學的難點，這里教師要精講，細講）
上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合．因此“到定點距離等于定長的點的軌跡”是圓．
軌跡1：“到定點距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎和關鍵）
�。ǘ╊惐取⒀芯�1
�。ㄔ诶蠋熤笇�，通過電腦動畫，學生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）
軌跡2：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；
軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線；
�。ㄈ╈柟谈拍�
練習：畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：
(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；
(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點的軌跡；
(3)經(jīng)過已知點A、B的圓O，圓心O的軌跡．
�。ˋ層學生獨立畫圖，回答滿足這個條件的軌跡是什么?歸納出每一個題的點的軌跡屬于哪一個基本軌跡；B、C層學生在老師的指導或帶領下完成）
�。ㄋ模╊惐�、研究2
�。ㄟ@是第二次“類比”，目的：使學生的知識和能力螺旋上升．這次通過電腦動畫，使A層學生自己做，進一步提高學生歸納、整理、概括、遷移等能力）
軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；
軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．
（五）鞏固訓練
練習題1：畫圖說明滿足下面條件的點的軌跡：
1．到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；
2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡．
�。ˋ層學生獨立畫圖探索；然后回答出點的軌跡是什么，對B、C層學生回答有一定的困難，這時教師要從規(guī)律上和方法上指導學生）
練習題2：判斷題
1、到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．( )
2、和點B的距離等于5cm的點的軌跡，是到點B的距離等于5cm的圓．( )
3、到兩條平行線的距離等于8cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線．( )
4、底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線．( )
(這組練習題的目的，訓練學生思維的準確性和語言表達的正確性．題目由學生自主完成、交流、反思)
(教材的練習題、習題即可，因為這部分知識屬于選學內容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學生要求太高，了解就行、理解就高要求)
�。├斫狻⑿〗Y
�。�1）軌跡的定義兩層意思；
�。�2）常見的五種軌跡。
�。ㄆ撸┳鳂I(yè)
教材P82習題2、6．
探究活動
愛爾特希問題
在平面上有四個點，任意三點都可以構成等腰三角形，你能找到這樣的四點嗎?
分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應以如何構造出這樣的點來考慮．最容易想到的是，使一個點到另三個點等距離，換句話說，以一個點為圓心，作一個圓，其他三個點在此圓上尋找，只要使這圓上的三點構成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.
其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).
最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點即可(見圖中的第4個圖)．
綜上所述，符合題意的四點有且僅有三種構形：①任意等腰三角形的三個頂點及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個頂點；③任意正五邊形的其中4個頂點．
上述問題是大數(shù)學家愛爾特希(P．Erdos)提出的：“在平面內有n個點，其中任意三點都能構成等腰三角形”中n＝4的情形．
當n＝3、4、5、6時，愛爾特希問題都有解．已經(jīng)證明，時，問題無解．
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