數(shù)學(xué)教案：反函數(shù)
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生了解反函數(shù)的概念,初步掌握求反函數(shù)的方法.
2.通過(guò)反函數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力及抽象概括的能力.
3.通過(guò)反函數(shù)的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生樹立辨證唯物主義的世界觀.
教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)
重點(diǎn)是反函數(shù)概念的形成與認(rèn)識(shí).
難點(diǎn)是掌握求反函數(shù)的方法.
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)方法
自主學(xué)習(xí)與啟發(fā)結(jié)合法
教學(xué)過(guò)程
一. 揭示課題
今天我們將學(xué)習(xí)函數(shù)中一個(gè)重要的概念----反函數(shù).
1.4. 反函數(shù)(板書)
(一)反函數(shù)的概念(板書)
二.講解新課
教師首先提出這樣一個(gè)問(wèn)題:在函數(shù) 中,如果把 當(dāng)作因變量,把 當(dāng)作自變量,能否構(gòu)成一個(gè)函數(shù)呢?(讓學(xué)生思考后回答,要講明理由)可以根據(jù)函數(shù)的定義在 的允許取值范圍內(nèi)的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對(duì)應(yīng).(還可以讓學(xué)生畫出函數(shù)的圖象,從形的角度解釋“任一 對(duì)唯一 ”)
學(xué)生解釋后教師指出不管從哪個(gè)角度,它都是一個(gè)函數(shù),即 有反函數(shù),而且把這個(gè)函數(shù)稱為 的反函數(shù).那么這個(gè)反函數(shù)的解析式是什么呢?
由學(xué)生回答出應(yīng)為 .教師再提出 它作為函數(shù)是沒(méi)有問(wèn)題的,但不太符合我們的表示習(xí)慣,按習(xí)慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動(dòng)之后帶來(lái)一個(gè)新問(wèn)題: 和 是同一函數(shù)嗎?
由學(xué)生討論,并說(shuō)明理由,要求學(xué)生能從函數(shù)三要素的角度去認(rèn)識(shí),并給出解釋,讓學(xué)生真正承認(rèn)它們是同一函數(shù).并把 叫做 的反函數(shù).繼而再提出: 有反函數(shù)嗎？是哪個(gè)函數(shù)?
學(xué)生很快會(huì)意識(shí)到 是 的反函數(shù),教師可再引申為 與 是互為反函數(shù)的.然后利用問(wèn)題再引申:是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)呢?如果有,請(qǐng)舉出例子.在教師啟發(fā)下學(xué)生可以舉出象 這樣的函數(shù),若將 當(dāng)自變量, 當(dāng)作因變量,在 允許取值范圍內(nèi)一個(gè) 可能對(duì)兩個(gè) (可畫圖輔助說(shuō)明,當(dāng) 時(shí),對(duì)應(yīng) ),不能構(gòu)成函數(shù),說(shuō)明此函數(shù)沒(méi)有反函數(shù).
通過(guò)剛才的例子,了解了什么是反函數(shù),把對(duì) 的反函數(shù)的研究過(guò)程一般化,概括起來(lái)就可以得到反函數(shù)的定義,但這個(gè)數(shù)學(xué)的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關(guān)的內(nèi)容.
1. 反函數(shù)的定義:(板書)(用投影儀打出反函數(shù)的定義)
為了幫助學(xué)生理解,還可以把定義中的 換成某個(gè)具體簡(jiǎn)單的函數(shù)如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個(gè)函數(shù),最后改寫為 .給出定義后,再對(duì)概念作點(diǎn)深入研究.
2.對(duì)概念得理解(板書)
教師先提出問(wèn)題:反函數(shù)的“反”字應(yīng)當(dāng)是相對(duì)原來(lái)給出的函數(shù)而言,指的是兩者的關(guān)系你能否從函數(shù)三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來(lái)說(shuō))
學(xué)生很容易先想到對(duì)應(yīng)法則是“反”過(guò)來(lái)的,把 與 的位置換位了,教師再追問(wèn)它們的互換還會(huì)帶來(lái)什么變化?啟發(fā)學(xué)生找出另兩個(gè)要素之間的關(guān)系.最后得出結(jié)論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的.再把結(jié)論從特殊發(fā)展到一般,概括為:反函數(shù)的三要素是由原來(lái)函數(shù)的三要素決定的.給出的函數(shù)確定了,反函數(shù)的三要素就已經(jīng)確定了.簡(jiǎn)記為“三定”.
(1)“三定”(板書)
然后要求學(xué)生把剛才的`三定具體化,也就是“反”字的具體體現(xiàn).由學(xué)生一一說(shuō)出反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域,反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則就是把原來(lái)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過(guò)程)如圖
最后教師進(jìn)一步明確“反”實(shí)際體現(xiàn)為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.
(2)“三反”(板書)
此時(shí)教師可把問(wèn)題再次引向深入,提出:如果一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù),應(yīng)怎樣求這個(gè)反函數(shù)呢?下面我給出兩個(gè)函數(shù),請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己對(duì)概念的理解來(lái)求一下它們的反函數(shù).
例1. 求 的反函數(shù).(板書)
(由學(xué)生說(shuō)求解過(guò)程,有錯(cuò)或不規(guī)范之處,暫時(shí)不追究,待例2解完之后再一起講評(píng))
解:由 得 , 所求反函數(shù)為 .(板書)
例2. 求 , 的反函數(shù).(板書)
解:由 得 ,又 得 ,
故所求反函數(shù)為 .(板書)
求完后教師請(qǐng)同學(xué)們作評(píng)價(jià),學(xué)生之間可以討論,充分暴露表述中得問(wèn)題,讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn),自行解決.最后找代表發(fā)表意見,指出例2中問(wèn)題,結(jié)果應(yīng)為 , .
教師可先明知故問(wèn) ,與 , 有什么不同?讓學(xué)生明確指出兩個(gè)函數(shù)定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數(shù).再追問(wèn) 從何而來(lái)呢?讓學(xué)生能從三定和三反中找出理由,是從原來(lái)函數(shù)的值域而來(lái).
在此基礎(chǔ)上,教師最后明確要求,由于反函數(shù)的定義域必是原來(lái)函數(shù)的值域,而不是從自身解析式出發(fā)尋求滿足的條件,所以求反函數(shù),就必須先求出原來(lái)函數(shù)的值域.之后由學(xué)生調(diào)整剛才的求解過(guò)程.
解: 由 得 ,又 得 ,
又 的值域是 ,
故所求反函數(shù)為 , .
(可能有的學(xué)生會(huì)提出例1中為什么不求原來(lái)函數(shù)的值域的問(wèn)題,此時(shí)不妨讓學(xué)生去具體算一算,會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)函數(shù)的值域域求出的函數(shù)解析式中所求定義域時(shí)一致的,所以使得最后結(jié)果沒(méi)有出錯(cuò).但教師必須指出結(jié)論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規(guī)范求解過(guò)程要求大家一定先求原來(lái)函數(shù)的值域,并且在最后所求結(jié)果上注明反函數(shù)的定義域,同時(shí)讓學(xué)生調(diào)整例的表述,將過(guò)程補(bǔ)充完整)
最后讓學(xué)生一起概括求反函數(shù)的步驟.
3.求反函數(shù)的步驟(板書)
(1) 反解:
(2) 互換
(3) 改寫:
對(duì)以上環(huán)節(jié)教師可稍作解釋,然后提出再通過(guò)下面的練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)是否真正理解了.
三.鞏固練習(xí)
練習(xí):求下列函數(shù)的反函數(shù).
(1) (2) .(由兩名學(xué)生上黑板寫)
解答過(guò)程略.
教師可針對(duì)學(xué)生解答中出現(xiàn)的問(wèn)題,進(jìn)行講評(píng).(如正負(fù)的選取,值域的計(jì)算,符號(hào)的使用)
四.小結(jié)
1. 對(duì)反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí):
2. 求反函數(shù)的基本步驟:
五.作業(yè)
課本第68頁(yè)習(xí)題2.4第1題中4,6,8,第2題.
六.板書設(shè)計(jì)
2.4反函數(shù) 例1. 練習(xí).
一. 反函數(shù)的概念 (1) (2)
1. 定義
2. 對(duì)概念的理解 例2.
(1) 三定(2)三反
3. 求反函數(shù)的步驟
(1)反解(2)互換(3)改寫
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