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數(shù)學(xué)專著讀書筆記
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，有關(guān)數(shù)學(xué)專著讀書筆記，歡迎大家一起來(lái)借鑒一下！
數(shù)學(xué)專著讀書筆記1
黃愛(ài)華老師是深圳市最年輕的特級(jí)教師。近年來(lái)，他辛勤耕耘，勇于探索，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域取得了豐碩成果。讀了黃愛(ài)華老師著的《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)》感受頗多，受益匪淺。下面我談?wù)勛x了這本專著的心得：
黃老師在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，為學(xué)生發(fā)展而教；尊重學(xué)生，與學(xué)生“和”“平”相處。在教學(xué)藝術(shù)上，求“實(shí)”，求“活”，求“美”，求“趣”，求“新”，求“效”深深地影響著我。教學(xué)生先愛(ài)學(xué)生,建立融洽的師生關(guān)系是教學(xué)的基礎(chǔ)。我堅(jiān)信我在教學(xué)中要向黃老師學(xué)習(xí)，熱愛(ài)自己的學(xué)生。在教學(xué)方法上，關(guān)注學(xué)生在“數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度”等方面的發(fā)展，讓學(xué)生愿意親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)自己所生活的環(huán)境與社會(huì)”。
黃老師對(duì)教學(xué)的鉆研，對(duì)孩子的愛(ài)深深地影響著我。我從他的教育教學(xué)理念中學(xué)到了對(duì)我來(lái)說(shuō)是極其重要的教育教學(xué)觀點(diǎn)，也不斷促使著我激勵(lì)著我錘煉精湛的課堂教學(xué)，建立融洽的師生關(guān)系，創(chuàng)設(shè)精彩的教學(xué)舞臺(tái)。黃老師提出了一個(gè)教育的永恒目標(biāo)：暢神境界的追求。即教師在復(fù)雜多變的課堂教學(xué)中進(jìn)行“教育智慧的追求”。其中最令我深思的幾句話是：
1，讓人把話說(shuō)完吧！（傾聽(tīng)是一種教育行為和教育方式，傾聽(tīng)的方式表現(xiàn)出教育的質(zhì)，尊重，信任，虛心。傾聽(tīng)中迸出教師的智慧<傾聽(tīng)的核心是思考>）。
2，求異蘊(yùn)藏著創(chuàng)新，蘊(yùn)藏著靈性，而這靈性就是思維創(chuàng)新的火花。
3，課堂上的精彩，源于上課之前的精心。
4，教學(xué)是生命與生命的對(duì)話，語(yǔ)言是心靈與心靈的溝通。此外，黃老師提出了“智慧不是可望而不可及的滿天星辰，沒(méi)有誰(shuí)注定滿腹經(jīng)綸，妙趣橫生……”，激勵(lì)我們不斷追求教育的智慧，不斷創(chuàng)造教育的智慧，用智慧成就教育人生！
在課堂教學(xué)中力求：引人入勝地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、激情四射地開展探索研究、意猶未盡地實(shí)踐延伸。比如：在循環(huán)小數(shù)一課里，黃老師用盡人皆知的：從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，他對(duì)小和尚說(shuō)，從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，他對(duì)小和尚說(shuō)，從前……這樣一個(gè)有趣的童謠，作為本課的“開場(chǎng)白”，形成了輕松、愉悅、民主的學(xué)習(xí)氣氛，使學(xué)生一下子進(jìn)入了最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)。
黃老師的課堂猶如師生間對(duì)話式的真誠(chéng)交流。孩子們想說(shuō)，敢說(shuō)，而黃老師也給足了孩子們充分表達(dá)的機(jī)會(huì)。哪怕說(shuō)錯(cuò)，他也耐心地傾聽(tīng)，甚至爽朗地對(duì)答錯(cuò)同學(xué)笑，在笑聲中傳遞給孩子不用拘束的暗示，再巧妙地指引，讓孩子聽(tīng)得心服口服。黃老師的評(píng)價(jià)語(yǔ)沒(méi)有充滿激情卻充滿了真誠(chéng)，讓人得到真實(shí)的激勵(lì)和有用的指導(dǎo)。正是黃老師的'“平淡中見(jiàn)神奇”讓我們領(lǐng)略了數(shù)學(xué)課堂的無(wú)窮魅力。這種創(chuàng)新的課堂正是我們需要學(xué)習(xí)和傳承的！
老師們說(shuō)：“聽(tīng)黃老師的課，是一種享受；聽(tīng)黃老師的課，確實(shí)感到課堂教學(xué)是一門科學(xué)，一門藝術(shù)�！�
學(xué)生們說(shuō)：“我們最愛(ài)上黃老師的課�！�
恩師邱學(xué)華鼓勵(lì)黃老師：課堂趣、活、實(shí)，路子是對(duì)的。
還有專家評(píng)價(jià)黃老師的課說(shuō)：課堂讓人耳目一新，令人陶醉。課堂過(guò)程不是預(yù)設(shè)生成，而是互動(dòng)生成，這是我們應(yīng)該追求的一種教學(xué)境界。
國(guó)家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組負(fù)責(zé)人、中央民族大學(xué)孫曉天教授聽(tīng)了黃老師的課后評(píng)價(jià)說(shuō)：“師生精彩”、“新課程倡導(dǎo)的組織者、引導(dǎo)者、參與者的角色體現(xiàn)到位”、“特級(jí)教師實(shí)至名歸”。
教學(xué)藝術(shù)是教學(xué)規(guī)律性和創(chuàng)造性的辯證統(tǒng)一，是教師思想、業(yè)務(wù)、文化、人格、能力和方法的綜合體現(xiàn)。也是我作為教師一生所追求的藝術(shù)。
數(shù)學(xué)專著讀書筆記2
讀完《什么是數(shù)學(xué)》之后，我深受內(nèi)容的影響，感觸很深，對(duì)于數(shù)學(xué)的演化有種震撼的感受，我想這種感觸我一定要用筆記下來(lái)，好讓我以后忘了再把它想起來(lái)。我為什么要把它用筆寫下來(lái)，不用我多說(shuō)，我想大家肯定知道其中的秘密。
現(xiàn)在，我們將從一系列公理開始，從自然數(shù)的產(chǎn)生一直說(shuō)到實(shí)數(shù)理論的完善�；蛟S會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的“科學(xué)性”有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。
自然數(shù)是數(shù)學(xué)界中最自然的數(shù)，它用來(lái)描述物體的個(gè)數(shù)，再抽象一些就是集合的元素個(gè)數(shù)。在人類文明的最早期，人們就已經(jīng)很自然地用到了自然數(shù)�？梢哉f(shuō)，自然數(shù)是天然產(chǎn)生的，其余的一切都是從自然數(shù)出發(fā)慢慢擴(kuò)展演變出來(lái)的。數(shù)學(xué)家Kronecker曾說(shuō)過(guò)，上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切皆是人的勞作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)。
隨著一些數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，我們迫切地希望對(duì)自然數(shù)本身有一個(gè)數(shù)學(xué)描述。從邏輯上看，到底什么是自然數(shù)呢？歷史上對(duì)自然數(shù)的數(shù)學(xué)描述有過(guò)很多的嘗試。數(shù)學(xué)家Giuseppe Peano提出了一系列用于構(gòu)造自然數(shù)算術(shù)體系的公理，稱為Peano公理。Peano公理認(rèn)為，自然數(shù)是一堆滿足以下五個(gè)條件的符號(hào)：
1. 0是一個(gè)自然數(shù)；
2. 每個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)后繼自然數(shù)，記作S(a)；
3. 不存在后繼為0的自然數(shù)；
4. 不同的自然數(shù)有不同的后繼。即若a≠b，則S(a)≠S(b)；
5. 如果一個(gè)自然數(shù)集合S包含0，并且集合中每一個(gè)數(shù)的后繼仍在集合S中，則所有自然數(shù)都在集合S中。（這保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性）
形象地說(shuō)，這五條公理規(guī)定了自然數(shù)是一個(gè)以0開頭的單向有序鏈表。 自然數(shù)的加法和乘法可以簡(jiǎn)單地使用遞歸的方法來(lái)定義，即對(duì)任意一個(gè)自然數(shù)a，有：
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
a · 0 = 0
a · S(b) = a + (a·b)
其它運(yùn)算可以借助加法和乘法來(lái)定義。例如，減法就是加法的逆運(yùn)算，除法就是乘法的逆運(yùn)算，“a≤b”的意思就是存在一個(gè)自然數(shù)c使得a+c=b。交換律、結(jié)合率和分配率這幾個(gè)基本性質(zhì)也可以從上面的定義出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)。
Peano公理提出后，多數(shù)人認(rèn)為這足以定義出自然數(shù)的運(yùn)算，但Poincaré等人卻開始質(zhì)疑Peano算術(shù)體系的相容性：是否有可能從這些定義出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，最后得出0=1之類的荒謬結(jié)論？如果一系列公理可以推導(dǎo)出兩個(gè)互相矛盾的命題，我們就說(shuō)這個(gè)公理體系是不相容的。Hilbert的23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)問(wèn)題就是問(wèn)，能否證明Peano算術(shù)體系是相容的。這個(gè)問(wèn)題至今仍有爭(zhēng)議。
在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，引進(jìn)負(fù)數(shù)的概念是一個(gè)重大的突破。我們希望當(dāng)a<b時(shí)a-b能夠繼續(xù)成立，并讓此時(shí)的a-b參與運(yùn)算�，F(xiàn)在我們還不知道當(dāng)a<b時(shí)a-b應(yīng)該如何參與運(yùn)算，但請(qǐng)注意到(a-b)與(c-d)總是滿足下面兩個(gè)看上去很符合常理的式子：
(a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d)
(a-b) · (c-d) = (ac + bd) - (ad + bc)
我們可以非常自然地把上面的規(guī)則擴(kuò)展到a<b或c=b，符號(hào)(a-b)描述的是一個(gè)自然數(shù)；如果a<b，符號(hào)(a-b)描述的就是一個(gè)“負(fù)數(shù)”。當(dāng)a+d=b+c時(shí)，(a-b)和(c-d)屬于同一個(gè)等價(jià)類（可以證明它們同時(shí)加上或乘上一個(gè)(e-f)的`結(jié)果相同），我們認(rèn)為它們是同一個(gè)數(shù)（正如1/2和2/4是同一個(gè)數(shù)一樣）。注意到(a-b)-(b-a) = (a+b)-(b+a) = 0，也就是說(shuō)(a-b) = 0-(b-a)。而(a-b)和(b-a)兩個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)在原來(lái)我們的自然數(shù)范圍內(nèi)。受這個(gè)的啟發(fā)，我們想到了用這兩個(gè)數(shù)中的其中一個(gè)去描述另一個(gè)：當(dāng)a<b時(shí)，我們把(a-b)記作0-(b-a)；或者干脆不寫那個(gè)0了，直接簡(jiǎn)記作-(b-a)。例如，我們可以把(3-5)直接寫成-2。另外，注意到(a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d) = (c+a)-(d+b) = (c-d)+(a-b)，于是我們可以立即看出，引進(jìn)負(fù)數(shù)后原有的加法交換律仍然成立。類似地，可以證明在上面的定義下，其它幾個(gè)算術(shù)運(yùn)算基本性質(zhì)依然保持不變，因此從邏輯上看負(fù)數(shù)運(yùn)算是合理的。
生活中遇到的另一個(gè)問(wèn)題就是“不夠分”、“不夠除”一類的情況。三個(gè)人分六個(gè)餅，一個(gè)人兩個(gè)餅；但要是三個(gè)人分五個(gè)餅咋辦？此時(shí)，一種存在于兩個(gè)相鄰整數(shù)之間的數(shù)不可避免的產(chǎn)生了。為了更好地表述這種問(wèn)題，我們用一個(gè)符號(hào)a/b來(lái)表示b個(gè)單位的消費(fèi)者均分a個(gè)單位的物資。真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到?jīng)Q定性作用的一個(gè)步驟是把由兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的符號(hào)a/b當(dāng)成一個(gè)數(shù)來(lái)看待，并且定義一套它所服從的運(yùn)算規(guī)則。借助“分餅”這類生活經(jīng)驗(yàn)，我們可以看出，對(duì)于整數(shù)a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。為了讓新的數(shù)能夠用于度量長(zhǎng)度、體積、質(zhì)量，這種定義是必要的。但在數(shù)學(xué)歷史上，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的時(shí)間才意識(shí)到：從邏輯上看，新的符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則只是我們的定義，它是不能被“證明”的，沒(méi)有任何理由要求我們必須這么做。正如我們定義0的階乘是1一樣，這么做僅僅是為了讓排列數(shù)A(n,n)仍然有意義并且符合原有的運(yùn)算法則，但我們絕對(duì)不能“證明”出0!=1來(lái)。事實(shí)上，我們完全可以定義(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然滿足基本的算術(shù)規(guī)律；雖然在我們看來(lái)，這種定義所導(dǎo)出的結(jié)果非常之荒謬，但沒(méi)有任何規(guī)定強(qiáng)制我們不能這么定義。只要與原來(lái)的公理和定義沒(méi)有沖突，這種定義也是允許的，它不過(guò)是一個(gè)不適用于度量這個(gè)世界的絕大多數(shù)物理量的、不被我們熟知和使用的、另一種新的算術(shù)體系罷了。
我們稱所有形如a/b的數(shù)叫做有理數(shù)。有理數(shù)的出現(xiàn)讓整個(gè)數(shù)系變得更加完整，四則運(yùn)算在有理數(shù)的范圍內(nèi)是“封閉”的了，也就是說(shuō)有理數(shù)與有理數(shù)之間加、減、乘、除的結(jié)果還是有理數(shù)，可以沒(méi)有限制地進(jìn)行下去。從這一角度來(lái)看，我們似乎不大可能再得到一個(gè)“在有理數(shù)之外”的數(shù)了。
當(dāng)我們的數(shù)系擴(kuò)展到有理數(shù)時(shí)，整個(gè)數(shù)系還出現(xiàn)了一個(gè)本質(zhì)上的變化，這使我們更加相信數(shù)系的擴(kuò)展已經(jīng)到頭了。我們說(shuō)，有理數(shù)在數(shù)軸上是“稠密”的，任何兩個(gè)有理數(shù)之間都有其它的有理數(shù)（比如它們倆的算術(shù)平均值）。事實(shí)上，在數(shù)軸上不管多么小的一段區(qū)間內(nèi)，我們總能找到一個(gè)有理數(shù)（分母m足夠大時(shí)，總有一個(gè)時(shí)刻1/m要比區(qū)間長(zhǎng)度小，此時(shí)該區(qū)間內(nèi)至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)分母為m的有理數(shù)）。這就使得人們會(huì)理所當(dāng)然地認(rèn)為，有理數(shù)已經(jīng)完整地覆蓋了整個(gè)數(shù)軸，所有的數(shù)都可以表示成a/b的形式。
難以置信的是，這樣的數(shù)竟然不能覆蓋整個(gè)數(shù)軸；除了形如a/b的數(shù)以外，數(shù)軸上竟然還有其它的數(shù)！這是早期希臘數(shù)學(xué)最重要的發(fā)現(xiàn)之一。那時(shí)，古希臘人證明了，不存在一個(gè)數(shù)a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的數(shù)不是沒(méi)有（可以用二分法找出這個(gè)數(shù)），只是它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比罷了。用現(xiàn)在的話說(shuō)就是，根號(hào)2不是有理數(shù)。根號(hào)2這種數(shù)并不是憑空想象出來(lái)的沒(méi)有實(shí)際意義的數(shù)，從幾何上看它等于單位正方形的對(duì)角線長(zhǎng)。我們現(xiàn)有的數(shù)竟然無(wú)法表達(dá)出單位正方形的對(duì)角線長(zhǎng)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的物理量！因此，我們有必要把我們的數(shù)系再次進(jìn)行擴(kuò)展，使其能夠包含所有可能出現(xiàn)的量。我們把所有能寫成整數(shù)或整數(shù)之比的數(shù)叫做“有理數(shù)”，而數(shù)軸上其它的數(shù)就叫做“無(wú)理數(shù)”。它們合在一起就是“實(shí)數(shù)”，代表了數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)。
其實(shí)，構(gòu)造一個(gè)無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)沒(méi)有那么復(fù)雜。我們可以非常輕易地構(gòu)造出一個(gè)無(wú)理數(shù)，從而說(shuō)明無(wú)理數(shù)的存在性。把所有自然數(shù)串起來(lái)寫在一起所得到的Champernowne常數(shù)0.12345678910111213141516...顯然是個(gè)無(wú)理數(shù)。考慮用試除法把有理數(shù)展開成小數(shù)形式的過(guò)程，由于余數(shù)的值只有有限多種情況，某個(gè)時(shí)刻除出來(lái)的余數(shù)必然會(huì)與前面重復(fù)，因此其結(jié)果必然是一個(gè)循環(huán)小數(shù)；而Champernowne常數(shù)顯然不是一個(gè)循環(huán)小數(shù)（不管你宣稱它的循環(huán)節(jié)是什么，我都可以構(gòu)造一個(gè)充分長(zhǎng)的數(shù)字串，使得你的循環(huán)節(jié)中的某個(gè)數(shù)字根本沒(méi)在串中出現(xiàn)，并且顯然這個(gè)串將在Champernowne常數(shù)中出現(xiàn)無(wú)窮多次）。這個(gè)例子說(shuō)明，數(shù)軸上還存在有大量的無(wú)理數(shù)，帶根號(hào)的數(shù)只占無(wú)理數(shù)中微不足道的一部分。這個(gè)例子還告訴我們，不是所有的無(wú)理數(shù)都像pi一樣可以用來(lái)測(cè)試人的記憶力和Geek程度。
在定義無(wú)理數(shù)的運(yùn)算法則中，我們?cè)俅斡龅搅吮疚拈_頭介紹自然數(shù)時(shí)所面臨的問(wèn)題：究竟什么是無(wú)理數(shù)？無(wú)理數(shù)的運(yùn)算該如何定義？長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直受到這個(gè)問(wèn)題的困惑。19世紀(jì)中期，德國(guó)數(shù)學(xué)家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定義了無(wú)理數(shù)的運(yùn)算，使實(shí)數(shù)理論得到了進(jìn)一步的完善。
在此之前，我們一直是用有序數(shù)對(duì)來(lái)定義一種新的數(shù)，并定義出有序數(shù)對(duì)之間的等價(jià)關(guān)系和運(yùn)算法則。但Champernowne常數(shù)這種讓人無(wú)語(yǔ)的無(wú)理數(shù)的存在使得這種方法能繼續(xù)用于無(wú)理數(shù)的定義的希望變得相當(dāng)渺茫。Dedekind不是用兩個(gè)或多個(gè)有理數(shù)的數(shù)組來(lái)定義無(wú)理數(shù)，而是用全體有理數(shù)的一個(gè)分割來(lái)定義無(wú)理數(shù)。我們把全體有理數(shù)分成兩個(gè)集合A和B，使得A中的每一個(gè)元素都比B中的所有元素小。顯然，滿足這個(gè)條件的有理數(shù)分割有且僅有以下三種情況：
1. 1.A中有一個(gè)最大的元素a*。例如，定義A是所有小于等于1的有理數(shù)，B是所有大于1的有理數(shù)。
2. 2. B中有一個(gè)最小的元素b*。例如，定義A是所有小于1的有理數(shù)，B是所有大于等于1的有理數(shù)。
3. 3. A中沒(méi)有最大的元素，且B中沒(méi)有最小的元素。例如，A由0、所有負(fù)有理數(shù)和所有平方后小于2的正有理數(shù)組成，B由所有平方后大于2的正有理數(shù)組成。每一次出現(xiàn)這種情況，我們就說(shuō)這個(gè)分割描述了一個(gè)無(wú)理數(shù)。
4. 4.注意，“A中有最大元素a*且B中有最小元素b*”這一情況是不可能出現(xiàn)的，這將違背有理數(shù)的稠密性。a*和b*都是有理數(shù)，它們之間一定存在其它的有理數(shù)，而這些有理數(shù)既不屬于集合A，也不屬于集合B，因此不是一個(gè)分割。
為什么每一種情況3都描述了一個(gè)確定的無(wú)理數(shù)呢？其實(shí)這非常的形象。由于A里面沒(méi)有最大的元素，因此我們可以永不停息地從A里面取出越來(lái)越大的數(shù)；同樣地，我們也可以不斷從B里面取出越來(lái)越小的數(shù)。這兩邊的數(shù)將越來(lái)越靠近，它們中間夾著的那段區(qū)間將越來(lái)越小，其極限就是數(shù)軸上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)大于所有A里的數(shù)且小于所有B里的數(shù)。但集合A和B已經(jīng)包含了所有的有理數(shù)，因此這個(gè)極限一定是一個(gè)無(wú)理數(shù)。因此從本質(zhì)上看，Dedekind分割的實(shí)質(zhì)就是用一系列的有理數(shù)來(lái)逼近某個(gè)無(wú)理數(shù)。
現(xiàn)在我們可以很自然地定義出無(wú)理數(shù)的運(yùn)算。我們把一個(gè)無(wú)理數(shù)所對(duì)應(yīng)的Dedekind分割記作(A,B)，則兩個(gè)無(wú)理數(shù)(A,B)和(C,D)相加的結(jié)果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每個(gè)元素與C中的每個(gè)元素相加而得到，余下的有理數(shù)則都屬于集合Q。我們也可以用類似的辦法定義出無(wú)理數(shù)的乘法。另外，我們能夠很快地驗(yàn)證，引入無(wú)理數(shù)后我們的運(yùn)算仍然滿足交換律、結(jié)合率等基本規(guī)律，這里就不再多說(shuō)了。
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