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高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)方法小結(jié)
高二的數(shù)學(xué)，這個(gè)學(xué)期現(xiàn)在有很多學(xué)校學(xué)到了導(dǎo)數(shù)。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)畢竟是高考壓軸題。導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要知識，下面是小編為大家?guī)砹烁叨䲠?shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)方法小結(jié)，一起來看看吧!
通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以去求函數(shù)的切線或者法線方程，通過導(dǎo)數(shù)開可以求出函數(shù)的極限，也可以通過導(dǎo)數(shù)去判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及通過導(dǎo)數(shù)延伸出來的微積分可以去求函數(shù)的面積、體積及長度的內(nèi)容，所以掌握導(dǎo)數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是高等數(shù)學(xué)的重要且是基本的知識了。
方法/步驟1：
1、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
所謂基本函數(shù)，也就是通常所說的初等函數(shù)，例如常數(shù)函數(shù)y=c，一次函數(shù)y=kx+b，二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,冪函數(shù)y=x^a,指數(shù)函數(shù)y=a^x,對數(shù)函數(shù)y=loga x，自然對數(shù)函數(shù)y=lnx，三角函數(shù)，反三角函數(shù)等，這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是需要記住的。具體公式如下：
y=c y=0 y=x^n y=nx^(n-1) y=a^x y=a^xlna
y=e^x y=e^x y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x
y=sinx y=cosx y=cosx y=-sinx y=tanx y=1/cos^2x
y=cotx y=-1/sin^2x y=arcsinx y=1/√1-x^2 y=arccosx y=-1/√1-x^2
y=arctanx y=1/1+x^2 y=arccotx y=-1/1+x^2
方法/步驟2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：
1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，就是指導(dǎo)數(shù)的加、減、乘、除的四則運(yùn)算法則，這也是需要掌握的重要內(nèi)容，公式如下：
�、�(u±v)=uv±vu ②uv=uv+uv ③u/v=(uv-uv)/v^2
這里邊的u.v一般是代表的兩個(gè)不同的函數(shù)，不會(huì)同時(shí)為常數(shù)。這三個(gè)運(yùn)算法則中，特別要記住的是兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)求法，分子中出現(xiàn)的是減號，這個(gè)地方容易出錯(cuò)。對于上面提到的二次函數(shù)，符合函數(shù)和差的運(yùn)算法則，所以y=(ax^2)+(bx)+c=2ax+b+0=2ax+b.
方法/步驟3：初等函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)
1、初等函數(shù)的四則運(yùn)算，就是上述提到基本函數(shù)，其求導(dǎo)，通常要用到上述求導(dǎo)的運(yùn)算法則，它可以單獨(dú)使用其中的一個(gè)運(yùn)算法則，也可以是多個(gè)運(yùn)算法則同時(shí)使用，下面舉幾個(gè)例子。
2、(1)y=sinx+5x-cosx,這個(gè)是函數(shù)的和差運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用①，所以：
y=(sinx)+(5x)-(cosx)=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.
3、(2)y=(5sinx)*(3cosx),這個(gè)是函數(shù)的乘積運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用②，所以：
y=(5sinx)(3cosx)+(5sinx)(3cosx)
=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)
=15(cos^2x-sin^2x)
=15cos2x.
4、(3)y=sinx/cosx,這個(gè)是函數(shù)的商的運(yùn)算，求導(dǎo)法則僅使用③，所以：
y=[(sinx)cosx-(sinx)(cosx)]/(cosx)^2
=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2
=1/(cosx)^2
=sec^2x,實(shí)際上y=sinx/cosx=tanx，其導(dǎo)數(shù)是通過這個(gè)法則求出來的。
5、(4)y=(sinx-5x+x^2cosx)/x,這個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)，上述三個(gè)運(yùn)算法則都要使用到，所以：
y=[(sinx-5x+x^2cosx)x-(sinx-5x+x^2cosx)x]/x^2
={[(sinx)-(5x)+(x^2cosx)]x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2
={[cosx-5+(x^2)cosx+(x^2)(cosx)]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2
=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.
方法/步驟4： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
1復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)，u=g(x)即y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為
y =f(g(x))*g(x)即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.舉例如下：
2
(1)y=(2x+1)^5,
y=5(2x+1)^4*(2x+1)=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.
3
(2) y=sin(x^2+2x).
y=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).
4
(3)y=(3x)^x,因?yàn)樗炔皇侵笖?shù)函數(shù)，也不是冪函數(shù)，所以求導(dǎo)之前要變型，得到：
lny=xln3x,兩邊求導(dǎo)得到：
y/y=ln3x+x(ln3x)
y/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1
所以y=(3x)^x(1+ln3x).
方法/步驟5：積分函數(shù)的求導(dǎo)
1對有積分上下限函數(shù)的求導(dǎo)有以下公式:
[∫(a,c)f(x)dx]=0，a，c為常數(shù)。解釋：對于積分上下限為常數(shù)的積分函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)=0.
[∫(g(x),c)f(x)dx]=f(g(x))*g(x),a為常數(shù)，g(x)為積分上限函數(shù)，解釋：積分上限為函數(shù)的求導(dǎo)公式=被積函數(shù)以積分上限為自變量的函數(shù)值乘以積分上限的導(dǎo)數(shù)。
[∫(g(x),p(x))f(x)dx]=f(g(x))*g(x)-f(p(x))*p(x),a為常數(shù)，g(x)為積分上限函數(shù)，p(x)為積分下限函數(shù)。解釋：積分上下限為函數(shù)的求導(dǎo)公式=被積函數(shù)以積分上限為自變量的函數(shù)值乘以積分上限的導(dǎo)數(shù)-被積函數(shù)以積分下限為自變量的函數(shù)值乘以積分下限的導(dǎo)數(shù)。
2
(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]
=(2x^2+5)*(x^2)
=(2x^2+5)*2x
=4x^3+10x
3
(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]
=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)-sinx*(x)
=4xsin(2x^2-1)-sinx.
導(dǎo)數(shù)應(yīng)該怎么學(xué)？
函數(shù)對于導(dǎo)數(shù)來說，它就是一個(gè)小意思，一只小螞蟻。
導(dǎo)數(shù)解決的問題和函數(shù)解決的問題不一樣，等你導(dǎo)數(shù)學(xué)差不多的時(shí)候，函數(shù)那些東西也都上來了，基本上都上來了，這點(diǎn)你就盡管放心！
學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)你就放心的預(yù)習(xí)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)解決的單調(diào)性跟函數(shù)的單調(diào)性沒有關(guān)系，它解決的函數(shù)的值域跟函數(shù)中的值域又不是一碼事，它學(xué)習(xí)的切線跟函數(shù)沒有關(guān)系。
你只要認(rèn)識函數(shù)那些符號，比如說ex、 lnx，指數(shù)、對數(shù)符號你都認(rèn)得吧？現(xiàn)在暫時(shí)還用不到什么奇偶性，什么對稱性。你先把這個(gè)導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)的東西，按照我說的，切線的問題、單調(diào)區(qū)間的求法、單調(diào)性的討論、函數(shù)極最值這幾個(gè)題型學(xué)了，再把那個(gè)恒成立大題的題型，還有零點(diǎn)的題型學(xué)了。然后有余力了，你再開始學(xué)習(xí)小題的類型。
小題的類型有一類就是構(gòu)造函數(shù)，這個(gè)需要函數(shù)的周期性、單調(diào)性。但是構(gòu)造函數(shù)在函數(shù)這個(gè)大題里頭，對于剛學(xué)習(xí)的同學(xué)是一個(gè)難點(diǎn)。但是，他學(xué)五道到六道題的思路和方法之后，那感覺就上來了。
構(gòu)造函數(shù)配幾十道題訓(xùn)練，各種構(gòu)造基本都能涉及到，基本上你也就都會(huì)了，你也不用特意去函數(shù)那塊，把什么奇偶性、單調(diào)性、對稱性再學(xué)一遍，把題再做一遍，不需要的。因?yàn)樗玫闹皇且粋�(gè)概念，稍微回憶一下，這概念都想起來了。你配著函數(shù)，配著導(dǎo)數(shù)，那些東西很簡單。
導(dǎo)數(shù)的小題有九個(gè)題型：
第1個(gè)、如何求切線。切線也分幾種類型，過曲線上一點(diǎn)的切線，過曲線外一點(diǎn)的切線。
第2個(gè)、如何求單調(diào)區(qū)間，討論單調(diào)性。
第3個(gè)、如何去求極最值。
第4個(gè)、如何去求方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)。
第5個(gè)、如何證明不等式。
第6個(gè)、還有不等式恒成立的問題。
第7個(gè)、那就是整數(shù)解的問題。
第8個(gè)、最小距離的問題。
第9個(gè)、那就是相同切線的問題。
這九個(gè)題型，如果我們學(xué)會(huì)了這些題型的解題方法，就基本上具備了解導(dǎo)數(shù)小題的能力了。那么我們再進(jìn)行較難題的訓(xùn)練。
導(dǎo)數(shù)這道題有基礎(chǔ)題、中等題，還有壓軸題。你訓(xùn)練的高度不同，那么你的收獲就不同。所以這九個(gè)題型，不是說為壓軸準(zhǔn)備的，而是為了基礎(chǔ)題和中等題準(zhǔn)備的。
你壓軸題也是用的這些方法，對不對？所以學(xué)的方法就三道題，基礎(chǔ)的、中等的，還有壓軸的，我們至少會(huì)兩道。
導(dǎo)數(shù)的第二個(gè)要點(diǎn)的學(xué)習(xí)，就是大題。
大題我們在學(xué)的時(shí)候千萬不要覺得，哎呀，導(dǎo)數(shù)這個(gè)大題，是給考清華北大學(xué)生準(zhǔn)備的，是給高分段學(xué)生準(zhǔn)備的，跟我沒關(guān)系。。。
你千萬不要這么想，導(dǎo)數(shù)這道大題，它是分第一問，第二問，甚至分第三問的。
第一問即使是不送分的題，它也比不送分的小題要簡單。
導(dǎo)數(shù)大題第一個(gè)問，一共7個(gè)題型：
第1個(gè)、就是求切線。
第2個(gè)、單調(diào)區(qū)間。
第3個(gè)、討論單調(diào)性。討論單調(diào)性應(yīng)該說是最難的一個(gè)，因?yàn)閹е鴧?shù)，它要分類討論的，和二次函數(shù)結(jié)合的時(shí)候比較多。
第4個(gè)、恒成立的問題。
第5個(gè)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的問題。
第6個(gè)、極最值的問題。
第7個(gè)、相同切線的問題。
這七個(gè)題型學(xué)完了，第一問就穩(wěn)穩(wěn)的拿下了，所以高二的學(xué)生，學(xué)新課的時(shí)候一定要學(xué)。小題學(xué)完了，大題第一問學(xué)完了，然后我們就開始第二問的學(xué)習(xí)。那導(dǎo)數(shù)大題第二部分到底有幾個(gè)題型呢？
第一個(gè)題型、就是恒成立的。恒成立分成三種：第1種就是能夠分參的；第2種是不能分參的；第3種就是恒成立和代換，代換是一種算法。
第二個(gè)題型、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)。這個(gè)分成兩類：一類是分參的，一類是不分參的。
分參的我們使用兩曲線交點(diǎn)，它的難點(diǎn)就是，如何使用零點(diǎn)存在性定理，如何說明根的存在的問題。
給了你四種方法，說明這個(gè)根的存在，你比如說f（a）到底正的負(fù)的？f（b）到底是正的負(fù)的？兩個(gè)端點(diǎn)異號才有零點(diǎn)呢？一般情況下，有一端是好說明，另外一端是不好說明，不好說明的時(shí)候，給你四個(gè)方法：
第一個(gè)方法、目測一個(gè)特殊值，如果沒有目測到，那好了，我們使用放縮，如果放縮太難了，想不到，那好，洛必達(dá)法則；還不行，那我們最后就使用極限，使用極限是沒有辦法的辦法。
接下來就是不能分參，就是使用零點(diǎn)存在性定理。
第三個(gè)題型、就是導(dǎo)數(shù)與不等式。導(dǎo)數(shù)與不等式，一共有五個(gè)模板：
第1個(gè)、就是直接移項(xiàng)之后，構(gòu)造函數(shù)求最值，這應(yīng)該是最簡單的；第2個(gè)、如果不是這樣，那我們就要放縮，有時(shí)候放縮常數(shù)，有時(shí)候放縮指數(shù)、對數(shù)。
第3個(gè)、是放縮不行的，放縮完了證不出來，怎么辦？那我們就不放縮了。指數(shù)和對數(shù)在一起是不可以的，怎么辦？我們就把它放在不等式的兩端，重組兩個(gè)函數(shù)。
第4個(gè)、重組也不行，放縮也不行，怎么辦？分離ln。這時(shí)候你就可以了。
第5個(gè)，最后一個(gè)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列與不等式。導(dǎo)數(shù)與不等式一共有五個(gè)模板。
第四個(gè)題型、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值。這道題考的非常靈活，就是對函數(shù)圖像的深度理解。
第五個(gè)題型、導(dǎo)數(shù)與雙變量。這是大家期待已久的導(dǎo)數(shù)與雙變量，大家光想著極值點(diǎn)偏移了，其實(shí)導(dǎo)數(shù)與雙變量一共有四個(gè)題型：
第1個(gè)、就是和單調(diào)性有關(guān)的，這是最簡單的一個(gè)。
第2個(gè)、就是消元、構(gòu)造函數(shù)。
第3個(gè)、就是換元，構(gòu)造對數(shù)平均值不等式。
第4個(gè)、才是導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)偏移。有兩個(gè)模型：一個(gè)模型是X1加X2大于幾小于幾；另外一個(gè)模型就是X1乘X2大于幾小于幾，大于的東西都是拐點(diǎn)的二倍。
第六個(gè)模型、就是題干與三角函數(shù)的。題干與三角函數(shù)，因?yàn)槿呛瘮?shù)只是有界函數(shù)，這類題，它必須專門去訓(xùn)練，所以這類題是一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)熱點(diǎn)。
所以導(dǎo)數(shù)第二問有六個(gè)題型，那么我們在學(xué)習(xí)的時(shí)候，我給你提一些建議：
高二的學(xué)生，比如說100分以上的學(xué)生，六個(gè)題型你都要去學(xué)習(xí)；
90到100分的，90左右的我們就學(xué)恒成立的；方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的；不等式的，先把這幾個(gè)學(xué)完，那幾個(gè)我們分階段學(xué)，沒學(xué)好我們分階段寒假時(shí)候再學(xué)。
然后60分到80分的，我們就學(xué)一個(gè)恒成立，你先把前邊那都學(xué)好，我們學(xué)習(xí)它不是讓你得滿分，你也得不到滿分，就是導(dǎo)數(shù)第二個(gè)問，是哪個(gè)題型，我們寫它兩行三行，多得個(gè)3分，你不就贏了嗎？
導(dǎo)數(shù)12分，你得7分，你是不是就可以了？所以說低分的學(xué)生，讓你學(xué)這道題是為了鍛煉你的思維。
一個(gè)是你思維長度不夠，你不愿意做這些題，拿到題之后就想一下子第一問我就趕快做出來，是不是？然后第二問我連看都不看。
你越這么想，你的心會(huì)越焦躁，你根本不能穩(wěn)定的去做每一道題，就想摸一把就想出來，你想可能嗎？
所以學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這個(gè)大題，你不一定學(xué)多好，但是你要去學(xué)，尤其是高二的學(xué)生，你學(xué)了，你才能有開悟的可能。
你看圓錐曲線是運(yùn)算吧，達(dá)到一定的程度，即使這道題你沒有得滿分，那么你的運(yùn)算能力也得到了極大的提高。
一個(gè)是思維的長度，以前可能你算了個(gè)3分鐘做不出來，你就不做了、生氣了，通過做圓錐曲線，就讓學(xué)大題，你可能13分鐘、23分鐘沒算出來，你依然還在那心平氣和的算，這是一個(gè)多么大的一個(gè)質(zhì)的一個(gè)變化，是不是？這對你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說，這種品質(zhì)是非�？少F的。
學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)就是“想”，一邊算一邊想，它是想多于算。這兩道題，對于高分段的學(xué)生來說是一套組合拳，讓你的思維呈現(xiàn)一個(gè)質(zhì)的飛躍；對于低分段的學(xué)生來說，是讓你仰望這個(gè)高山，讓你充滿著一種希望！
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