高等數(shù)學(xué)：矩陣和空間的思想

　　矩陣和空間的思想是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)考點(diǎn)。下面小編為大家介紹高等數(shù)學(xué)：矩陣和空間的思想，希望能幫到大家！

　　我在這里，把線性代數(shù)歸于高等數(shù)學(xué)的范疇，因?yàn)樗�的理論適用于很多高等數(shù)學(xué)求解的領(lǐng)域，例如多項(xiàng)微分方程組的求解，離不開它。方程組，有什么物理/幾何的意義嗎?有，就是一種映射關(guān)系。下圖中，左圖代表了2維到2維的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表對(duì)于滿秩矩陣A，[0]只能被映射為[0]。右圖代表A不滿秩，就是2維映射到1維的情況，一個(gè)線段映射到一個(gè)點(diǎn)，也就是存在一個(gè)"解系"。

　　換個(gè)角度，由于線性映射常常就是線性變換，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某種交點(diǎn)的性質(zhì)。根據(jù)向量之間相交的情況區(qū)分，定解(直線或面交于一點(diǎn)，1和2中的交點(diǎn))，無(wú)窮解(直線平行或面多面共線，這個(gè)線就構(gòu)成解系。1種的紅黃色重合線和3中的共線)，或者無(wú)解(平行或面沒(méi)有公共交點(diǎn)，1中的平行線和4中的平行交線)。如下圖所示。

　　符號(hào)系統(tǒng)還有什么作用？在線性代數(shù)和微分方程里面的算子理論就是符號(hào)系統(tǒng)的一種形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我們可以推出對(duì)于矩陣方程組Ax=B有確定解，,那么這個(gè)解集是x=(A^-1)*b。這里-1表示逆矩陣，*表示矩陣相乘，其中|A|!=0。這樣的表示是正確的科學(xué)的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是絕對(duì)值而是行列式。A此時(shí)稱為可逆矩陣----這個(gè)相當(dāng)于實(shí)數(shù)運(yùn)算里面要保證分母!=0。是不是很相似？

　　可逆有什么性質(zhì)：如果對(duì)一個(gè)矩陣做線性變換，使用一個(gè)滿秩的矩陣，那么做變換的結(jié)果，秩不變。要注意，把矩陣當(dāng)成算子的時(shí)候，乘法的交換律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性質(zhì)類似于開根號(hào)。兩個(gè)性質(zhì)，(1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求證A和A+B可逆。證明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|=(-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N階可逆矩陣呢？A*T(A)=I的矩陣就是了。推廣的說(shuō)，把分塊矩陣的元素可以看作普通的矩陣元素，那么線性變換的結(jié)果相似，只是4則運(yùn)算的單位從"1"變成了單位矩陣"I"。我們從一元方程得到類似的一元矩陣符號(hào)運(yùn)算的性質(zhì)。說(shuō)白了，代數(shù)意義上就是雙射。

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