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高中數(shù)學(xué)證明方法
在年少學(xué)習(xí)的日子里，是不是經(jīng)常追著老師要知識點(diǎn)？知識點(diǎn)是傳遞信息的基本單位，知識點(diǎn)對提高學(xué)習(xí)導(dǎo)航具有重要的作用。哪些知識點(diǎn)能夠真正幫助到我們呢？以下是小編精心整理的高中數(shù)學(xué)證明方法，僅供參考，大家一起來看看吧。
四大推理方法搞定高中證明題
一、合情推理
1.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論;
2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì)。
二、演繹推理
演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過程主要是通過演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。
三、直接證明與間接證明
直接證明是相對于間接證明說的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明。綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(或順推證法、由因?qū)Ч?。分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法。
間接證明是相對于直接證明說的，反證法是間接證明常用的方法。假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做反證法。
四、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。
高中數(shù)學(xué)證明題經(jīng)驗(yàn)技巧
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷τ谠擃}中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點(diǎn)外還有一個函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個點(diǎn))之間的一個點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點(diǎn)的值是異號的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。
高中數(shù)學(xué)證明方法
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，大家一定要尊重遇到的每一個問題，哪怕這個問題非常淺顯，非常傻，不要掉以輕心，想當(dāng)年，牛頓就是受一顆掉落在他頭頂上的蘋果啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，我不要求大家發(fā)現(xiàn)什么萬有引力定律，但起碼要做到認(rèn)真對待每一個細(xì)微的問題，并能發(fā)自內(nèi)心地發(fā)出真誠而理性的思考，即使這種思考很幼稚，要知道，每一種成熟都是由幼稚走過來的。
西瓜很甜，我們便不禁發(fā)問，西瓜為什么這么甜呢？千萬不敢說因?yàn)樘�，所以甜，會被人笑話的！我們�?yīng)該知道西瓜甜的原因是瓜瓤中含有大量果糖，所以才是甜的，但這個答案貌似并沒有說出要害，有好奇的孩子會繼續(xù)追問：“為什么有果糖，西瓜就是甜的？”這個問題才問對了，那是因?yàn)樘穷惙肿又泻卸嗔u基，多羥基中兩個氫原子之間有一定的距離，這個距離恰好能與舌頭上的味覺感受器形成化學(xué)吻合物，這種化學(xué)吻合物可以刺激味覺感受器，使其產(chǎn)生脈沖，進(jìn)而由神經(jīng)將脈沖傳入大腦，使人感到甜味。其實(shí)問題還可以繼續(xù)下去，但我們沒必要再深究下去，舉這個例子只是為了讓大家知道，不管做什么事都要多問一個為什么，然后自己尋求答案，思而不得解的可以向同學(xué)和老師求助，這種主動思考能力對我們各方面能力的提升是非常重要的。
在數(shù)學(xué)中，不要認(rèn)為什么都是理所當(dāng)然的，就像法庭抓捕犯人，罪犯在被法官定罪之前一般都被稱為嫌疑人，只有在找到他們犯罪的證據(jù)之后，才會改口叫罪犯，一切都講究證據(jù)，沒有證據(jù)的言論，即使再激烈也蒼白無力，毫無說服力。數(shù)學(xué)也同樣講究證據(jù)，而且每一個法則和定理都不是理所當(dāng)然的，都是前人花費(fèi)了無數(shù)心血才辛辛苦苦證明出來的。 所以說數(shù)學(xué)的證明是一個非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，平常我們可以嬉笑玩鬧，但在證明一個問題的時候，我們務(wù)必要抬頭挺胸，凝氣凝神，沐浴三日，齋戒七天，端坐在陽光明媚的窗前，拿著一只纖塵不染的晨光中性筆，拔開筆帽，然后放在一張潔白的A4紙上，做好這一切準(zhǔn)備后，我們再來說證明。
要證明一個命題，必須要有一定的依據(jù)，這些依據(jù)就是數(shù)學(xué)中最基本的公理和法則以及這些公理法則推導(dǎo)出來的定理，比如加法交換律，結(jié)合律，比如兩點(diǎn)之間，直線最短，這些公理和法則無需我們再次去證明，只需要牢牢記住它們，然后把它們當(dāng)做最原始的工具去使用就可以了。
什么是公理呢，顧名思義，我們可以把公理簡單地理解為：公共認(rèn)可的理論，而它本身的意思也差不多是這樣，公理就是根本無須證明的基本事實(shí)，這些基本事實(shí)經(jīng)過長期反復(fù)的實(shí)踐，不需要再加以證明了，這樣一來，我們可以把1+1=2，有理數(shù)加法法則，有理數(shù)減法法則，還有剛學(xué)習(xí)的加法交換律都叫做數(shù)學(xué)公理。定理則是根據(jù)公理推導(dǎo)歸納出來的。
可以這么說，證明就是通過這些已有的公理，法則，和定理做中介，將已知條件和要證明的命題連接起來，這個連接方式可能很簡單，也可能很曲折，我們不妨將這些公理法則和定理統(tǒng)一叫做連接工具。
已知條件 要證明的命題
要說起來，證明題一共有兩種，一種是純數(shù)學(xué)的，另外一種是關(guān)于幾何圖形的。
比如這道題：5-（-2），這是一道非常簡單的純數(shù)學(xué)題，但我們完全可以把它看做一道證明題，因?yàn)樗扔幸阎獥l件，又有連接工具，也有需要被證明的命題，如下：
已知條件：5-（-2）
連接工具：有理數(shù)減法法則
證明的命題：5-（-2）這個算式的結(jié)果
這個“證明題”的證明過程非常簡單，只需要稍微用一下連接工具就可以求出結(jié)果，已知條件和證明的命題千變?nèi)f化，但連接工具來來回回都是那幾個，這就要求我們必須深刻理解連接工具并將它們牢牢掌握，并學(xué)會在合適的地方合理運(yùn)用它們。
像這種從已知條件出發(fā)，通過連接工具，逐步向前推進(jìn)，直到問題解決的證明方法，我們稱之為綜合法，這種解題思路就像黑暗中的一條路，我們站在路的起點(diǎn)（已知條件），要依靠中間的馬路（連接工具），一步步向終點(diǎn)（要證明的命題）走去，行走的這個過程必須要在我們腦海經(jīng)歷，我們把經(jīng)歷的這個過程就叫順勢思維。一般簡單的證明題用的都是順勢思維。
還有一種題，如：已知a+b=4，ab=3，求a+b。
這個“證明題”的證明過程相比5-（-2）要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，在解題之前需要我們好好想一想，已知條件和要證明的命題看起來毫無關(guān)聯(lián)，證明起來無從下手，既然這樣，那我們不妨從要證明的命題反推，推啊推，最后如果能推到已知條件，那么我們再順著反推時得到的線索證明出最后的結(jié)果，當(dāng)然，反推時要用到的工具自然也是連接工具，現(xiàn)在我們22
�。╝+b）-2ab的連接工具自然根據(jù)要證明的命題來進(jìn)行推導(dǎo)：a+b=（a+b）-2ab，等號的依據(jù)或者說連接a+b和
�。╝+b）=a+2ab+b，ok，推導(dǎo)的結(jié)果都是已知條件，那我們反過來就可以得到： 就是我們熟悉的完全平方公式：222222222
2（a+b）-2ab=a2+b2，然后把a(bǔ)+b=4和ab=3帶進(jìn)去，就可以得到證明結(jié)果了。
像這種從要證明的命題出發(fā)，通過連接工具（這個連接工具需要經(jīng)過仔細(xì)推敲和選擇），一步步逆向求證下去，直到最后逆向求證的問題都變成已知條件，我們稱之為分析法，分析法是根據(jù)結(jié)果來求原因，就像在黑暗中，站在終點(diǎn)摸索回家的路，它用到的思維方法是一種非常典型的逆向思維，對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的題，我們可以用逆向思維去做，當(dāng)然，前提是你必須對在進(jìn)行逆向推導(dǎo)時所所用到的各個連接工具熟悉。
當(dāng)然除了，如果能將順勢思維和逆向思維聯(lián)合起來就好了，不管怎樣，在運(yùn)用它們的過程中都要用到連接工具，否則就寸步難行。
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