高中數學解題方法及步驟

　　導語：數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞．但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性．數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”．下面就由小編為大家?guī)�來高中數學解題方法及步驟，大家一起去看看怎么做吧！

　　一、配方法

　　配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成\"完全平方\")的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用\"裂項\"與\"添項\"、\"配\"與\"湊\"的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為\"湊配法\"。

　　最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

　　二、換元法

　　解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

　　換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來�；蛘咦�?yōu)槭煜さ男问剑�把復雜的計算和推證簡化。

　　它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

　　三、待定系數法

　　要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a);或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。

　　待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。

　　使用待定系數法，它解題的基本步驟是：

　　第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式;

　　第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程;

　　第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。

　　如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：

　�、倮�用對應系數相等列方程;

　　②由恒等的概念用數值代入法列方程;

　�、劾�用定義本身的屬性列方程;

　　④利用幾何條件列方程。

　　比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數;再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組;最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

　　四、定義法

　　所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。

　　定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。

　　五、數學歸納法

　　歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。

　　數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的'一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成立，這是遞推的基礎;第二步是假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定\"對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確\"。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。

　　運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。

　　六、參數法

　　參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量(參數)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。

　　辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。

　　參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。

　　七、反證法

　　與前面所講的方法不同，反證法是屬于\"間接證明法\"一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：\"若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾\"。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

　　反證法所依據的是邏輯思維規(guī)律中的\"矛盾律\"和\"排中律\"。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的\"矛盾律\";兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說\"A或者非A\"，這就是邏輯思維中的\"排中律\"。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據\"矛盾律\"，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以\"否定的結論\"必為假。再根據\"排中律\"，結論與\"否定的結論\"這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據的，反證法是可信的。

　　反證法的證題模式可以簡要的概括我為\"否定→推理→否定\"。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是\"否定之否定\"。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：

　　第一步，反設：作出與求證結論相反的假設;

　　第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾;

　　第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

　　在應用反證法證題時，一定要用到\"反設\"進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫\(zhòng)"歸謬法\";如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫\(zhòng)"窮舉法\"。

　　在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：\"反證法是數學家最精當的武器之一\"。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以\"否定形式\"、\"至少\"或\"至多\"、\"唯一\"、\"無限\"形式出現的命題;或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。

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