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高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解題方法
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配方法
配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
b3a2＋ab＋b2＝(a＋)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋)2＋（b）2； 22
1a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 2
2222a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝?
結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；
111x2＋2＝(x＋)2－2＝(x－)2＋2 ；?? 等等。 xxx
�、瘛⒃佻F(xiàn)性題組：
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，則 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A.<k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知sin4α＋cos4α＝1，則sinα＋cosα的值為_(kāi)_____。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數(shù)y＝log1 (－2x2＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的兩根x1、x2，則點(diǎn)P(x1,x2)在圓x2+y2=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。
【簡(jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)am?pam?p＝am2，將已知等式左邊后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開(kāi)方求解。選C。
4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。
5小題：答案3－。
�、�、示范性題組：
例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)____。 A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)x2?y2?z2，將其配湊成兩已知式的組合?4(x?y?z)?24?
形式可得。
【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12
?2(xy?yz?xz)?11條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：?。 ?4(x?y?z)?24
長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5
所以選B。
【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設(shè)方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若(p2q2)+()≤7成立，求實(shí)qp
數(shù)k的取值范圍。
【解】方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2(p2?q2)2?2p2q2p4?q4
()+()＝＝＝＝qp(pq)2(pq)2(pq)2
(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－或k≥ 。 4
又 ∵p、q為方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22
綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－≤k≤－22 或者 22≤k≤。
【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。
ba例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2＋ab＋b2=0，求()1998＋()1998 。 a?ba?b
aaa【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()2＋()＋1＝0，則＝ω （ω為bbb
1的立方虛根）；或配方為(a＋b)2＝ab 。則代入所求式即得。
aa【解】由a2＋ab＋b2=0變形得：()2＋()＋1＝0 ， bb
a1b設(shè)ω＝，則ω2＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω3＝ba?3＝1。
又由a2＋ab＋b2=0變形得：(a＋b)2＝ab ，
baaba2
999b2
99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ωa?bbaa?babab
999＋999＝2 。
【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開(kāi)。
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