2016關(guān)于高二數(shù)學(xué)拋物線的幾何性質(zhì)

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　　定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　二次函數(shù)的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 頂點式：y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點P(h，k)] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1，x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a 二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x=-b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為 P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。 當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時

　　(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點個數(shù) Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。

　　二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c， 當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)， 即ax^2;+bx+c=0 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。 畫拋物線y=ax2時，應(yīng)先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。

　　二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0). (2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數(shù)，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程

　　ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0. 說明：(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h，k)，h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當(dāng)k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點 如果圖像經(jīng)過原點，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點，則設(shè)y=ax^2+k

　　定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達式

　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

　�、陧旤c式[拋物線的頂點P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k

　　③交點式[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化：

　�、僖话闶胶晚旤c式的關(guān)系

　　對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即

　　h=-b/2a=(x1+x2)/2

　　k=(4ac-b^2)/4a

　�、谝话闶胶徒稽c式的關(guān)系

　　x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

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