高考數(shù)學(xué)�？碱}型：排列組合題

　　導(dǎo)語：搞科學(xué)研究，不能使用‘大概’、‘也許’這些字眼，也不能用估計(jì)和推斷代替觀察下面是小編為大家整理的：數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。希望對(duì)大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)!

　　排列組合二項(xiàng)定理

　　考試內(nèi)容：

　　分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.

　　排列.排列數(shù)公式.

　　組合.組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì).

　　二項(xiàng)式定理.二項(xiàng)展開式的性質(zhì).

　　考試要求：(1)掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題.(4)掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題.

　　排列組合二項(xiàng)定理知識(shí)要點(diǎn)

　　一、兩個(gè)原理.

　　1. 乘法原理、加法原理.

　　2. 可以有重復(fù)元素的排列.

　　從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法? (解：

　　種)

　　3.計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)

　�、俪朔ㄔ�理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分類)

　　二、排列.

　　1. ⑴對(duì)排列定義的理解.

　　定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

　�、葡嗤�排列.

　　如果;兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.

　　⑶排列數(shù).

　　從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)

　　表示.

　　(4)排列(有序)與組合(無序)

　　Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)­…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!

　　Cnm = n!/(n-m)!m!

　　Cnm= Cnn-m　　Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!

　　(5)排列數(shù)公式：

　　注意：

　　規(guī)定0! = 1

　　規(guī)定

　　2. 含有可重元素的排列問題.

　　對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于

　　. 例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)

　　又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)?其排列個(gè)數(shù)

　　.

　　三、組合.

　　1. ⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

　　⑵組合數(shù)公式：

　�、莾蓚�(gè)公式：①

　�、�

　　①從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.

　　(或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有

　　一類是不含紅球的選法有

　　) ②根據(jù)組合定義與加法原理得;在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C

　　，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C

　　種，依分類原理有

　　.

　�、扰帕信c組合的聯(lián)系與區(qū)別.

　　聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.

　　區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.

　�、散賻讉�(gè)常用組合數(shù)公式

　　②常用的證明組合等式方法例.

　　i. 裂項(xiàng)求和法. 如：

　　(利用

　　)

　　ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.

　　v. 遞推法(即用

　　遞推)如：

　　. vi. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如：

　　證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式

　　其中

　　的系數(shù)，左邊為

　　，而右邊

　　四、排列、組合綜合.

　　1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：

　　①直接法. ②排除法.

　�、劾�綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某

　　個(gè)元素必相鄰的排列有

　　個(gè).其中

　　是一個(gè)“整體排列”，而

　　則是“局部排列”. 又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為

　　. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有

　　. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有

　　. 注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有

　　種;而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個(gè)，有不確定性.

　�、懿蹇辗ǎ合劝岩话阍�素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.

　　例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少?

　　(插空法)，當(dāng)n – m+1≥m, 即m≤

　　時(shí)有意義.

　�、菡嘉环ǎ簭脑�素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素;從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.

　�、拚{(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有

　　種，

　　個(gè)元素的全排列有

　　種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有

　　種排列方法.

　　例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法?

　　解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二：(比例分配法)

　　. ⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有

　　. 例如：從1，2，3，4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法?有

　　(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少? (

　　) 注意：分組與插空綜合. 例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法?有

　　，當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤

　　時(shí)有意義.

　　⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.

　　例如：

　　的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為

　　顯然

　　，故(

　　)是方程的一組解.反之，方程的任何一組解

　　，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式(如圖所示)故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)

　　. 注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用

　　中

　　等于

　　，有

　　，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

　　. ⑨定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有

　　.

　　例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少種排法?

　　固定在某一位置上：

　　;不在某一位置上：

　　或

　　(一類是不取出特殊元素a，有

　　，一類是取特殊元素a，有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再從n-1個(gè)元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的)

　�、庵付ㄔ�素排列組合問題.

　　i. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列(或組合)，規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi) 。先C后A策略，排列

　　;組合

　　. ii. 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合)，規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列

　　;組合

　　. iii 從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列(或組合)，規(guī)定每個(gè)排列(或組合)都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列

　　;組合

　　.

　　II. 排列組合常見解題策略：

　�、偬厥庠�素優(yōu)先安排策略;②合理分類與準(zhǔn)確分步策略;③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列);④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略;⑤相鄰問題插空處理策略;

　　⑥不相鄰問題插空處理策略;⑦定序問題除法處理策略;⑧分排問題直排處理的策略;⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略;⑩構(gòu)造模型的策略.

　　2.排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排

　　排列組合題的主要解題方法：優(yōu)先法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

　　捆綁法(集團(tuán)元素法，把某些必須在一起的元素視為一個(gè)整體考慮)

　　插空法(解決相間問題)　　間接法和去雜法等等

　　在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意：

　　(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;

　　(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理;

　　(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏;

　　(4)列出式子計(jì)算和作答.

　　經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是：

　�、俜诸愑懻撍枷�;②轉(zhuǎn)化思想;③對(duì)稱思想.

　　3. 組合問題中分組問題和分配問題.

　　①均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為

　　(其中A為非均勻不編號(hào)分組中分法數(shù)).如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以

　　. 例：10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為

　　.若分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為

　�、诜蔷鶆蚓幪�(hào)分組: n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為

　　例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：

　　種. 若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有

　　種 ③均勻編號(hào)分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為

　　. 例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為

　　④非均勻不編號(hào)分組：將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為

　　…

　　例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為

　　若從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為

　　.

　　五、二項(xiàng)式定理.

　　1.二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)：

　　①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+­…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn

　　特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

　�、谥饕�性質(zhì)和主要結(jié)論：對(duì)稱性Cnm=Cnn-m

　　最大二項(xiàng)式系數(shù)在中間。(要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù)，答案是中間一項(xiàng)還是中間兩項(xiàng))

　　所有二項(xiàng)式系數(shù)的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

　　奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和=偶數(shù)項(xiàng)而是系數(shù)的和

　　Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1

　　③通項(xiàng)為第r+1項(xiàng)：　Tr+1= Cnran-rbr 作用：處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等有關(guān)問題。

　　2.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：

　　解決有關(guān)近似計(jì)算、整除問題，運(yùn)用二項(xiàng)展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。

　　3.注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(字母項(xiàng)的系數(shù)，指定項(xiàng)的系數(shù)等，指運(yùn)算結(jié)果的系數(shù))的區(qū)別，在求某幾項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)注意賦值法的應(yīng)用。

　　4. ⑴二項(xiàng)式定理：

　　.

　　展開式具有以下特點(diǎn)：

　�、� 項(xiàng)數(shù)：共有

　　項(xiàng); ② 系數(shù)：依次為組合數(shù)

　�、� 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.

　�、贫�項(xiàng)展開式的通項(xiàng).

　　展開式中的第

　　項(xiàng)為：

　　.

　　⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

　�、僭诙�項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等;

　�、诙�項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.

　　I. 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第

　　項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)

　　最大; II. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第

　　項(xiàng)和第

　　項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)

　　最大.

　�、巯禂�(shù)和：

　　附：一般來說

　　為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)

　　時(shí)，一般采用解不等式組

　　的系數(shù)或系數(shù)的絕對(duì)值)的辦法來求解. ⑷如何來求

　　展開式中含

　　的系數(shù)呢?其中

　　且

　　把

　　視為二項(xiàng)式，先找出含有

　　的項(xiàng)

　　，另一方面在

　　中含有

　　的項(xiàng)為

　　，故在

　　中含

　　的項(xiàng)為

　　.其系數(shù)為

　　.

　　5. 近似計(jì)算的處理方法.

　　當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式

　　，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分

　　很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有

　　但使用這兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)計(jì)算精確度的要求.

 

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