黃金分割數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)教案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、探索黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的過(guò)程，了解黃金分割在各個(gè)領(lǐng)域有價(jià)值的運(yùn)用;
2、會(huì)找一條線段的黃金分割點(diǎn);
3、在應(yīng)用中進(jìn)一步理解線段的比、成比例線段.
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】了解黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的意義.
【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】怎樣找一條線段的黃金分割點(diǎn).
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
一、情境創(chuàng)設(shè)：
1、欣賞芭蕾舞演員身體各部分之間適當(dāng)?shù)谋壤o人以勻稱、協(xié)調(diào)的美感，請(qǐng)量出圖中線段AB、AC的長(zhǎng)度，并求出線段AB與AC的比值;
2、上海東方明珠電視設(shè)計(jì)巧妙，整個(gè)塔體的挺拔秀麗，請(qǐng)量出圖中線段AB、AC的長(zhǎng)度，并求出線段AB與AC的比值;
3、觀察“你最喜歡的矩形”的調(diào)查結(jié)果，看看多數(shù)同學(xué)選擇是哪一個(gè)矩形，在此矩形中，寬與長(zhǎng)的比值約是多少?
二、探索活動(dòng)：
活動(dòng)一、計(jì)算(或)的值，引入黃金分割的概念.
把矩形ABCD的長(zhǎng)AB與寬BC畫(huà)在同一條直線上，此時(shí)點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果，那么線段AC被點(diǎn)B黃金分割.(有一種通俗的說(shuō)法是：較小的線段與較大的線段的比等于較大的線段與整個(gè)線段之比)
BC與AC(或AC與AB)的比值約為0.168，這個(gè)比值稱為黃金比.
注意：(1)一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，它們關(guān)于中點(diǎn)中心對(duì)稱;
(2)若矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形.
(3)若在黃金矩形中截取一個(gè)正方形，那么剩余的矩形是黃金矩形嗎?
活動(dòng)二、認(rèn)識(shí)黃金分割在幾何中的一些應(yīng)用.(如黃金三角形)
1、作頂角為36°的等腰△ABC;2、分別量出底邊BC與腰AB的長(zhǎng)度;
3、作∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D，量出△BCD的底邊CD的長(zhǎng)度;
最后，分別求出△ABC與△BCD的底邊與腰的長(zhǎng)度的比值(精確到0.001)
問(wèn)：比值是多少?
所以我們把頂角為36°的三角形稱為黃金三角形，它具有如下的性質(zhì)：(1);
(2)設(shè)BD是△ABC的底角的平分線，則△BCD也是黃金三角形，且點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn);
(3)如再作∠C的平分線，交BD于點(diǎn)E，則△CDE也是黃金三角形，如此繼續(xù)下去，可得到一串黃金三角形;
活動(dòng)三、如圖，五邊形ABCDE的5條邊相等，5個(gè)內(nèi)角也相等，
(1)找出圖中的黃金三角形;
(2)圖中的點(diǎn)F、G、H、M、N分別是那些線段的黃金分割點(diǎn)?你能說(shuō)明理由嗎?
解：(1)△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、
△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA;
(2)點(diǎn)F是線段CG、CE、DN、BD的黃金分割點(diǎn)，……
三、例題講解：
例1、若線段AB=4cm，點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)為多少?
例2、我們知道古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟(ParthenomTemple)的正面是一個(gè)黃金矩形，若已知黃金矩形的長(zhǎng)等于6,則這個(gè)黃金矩形的寬等于多少?(結(jié)果保留根號(hào))
例3、如圖的五角星中，AD=BC，且C、D兩點(diǎn)都是AB的黃金分割
點(diǎn)，AB=1，求CD的長(zhǎng).
四、黃金分割在生活中的應(yīng)用：
(1)二胡的`“千斤”放在琴弦的金分割點(diǎn)處，音色最佳;
(2)據(jù)有關(guān)測(cè)定,當(dāng)氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時(shí),人體感到最舒適.因此夏天使用空調(diào)時(shí)室內(nèi)溫度調(diào)到什么溫度最適合?(人的正常體溫36.2℃～37.2℃)“人體舒適指數(shù)”----36.5℃×0.618≈23℃，“人體舒適指數(shù)”為22℃∽24℃;
(3)植物莖的頂端向下，上下層的兩片葉子間大約成137.50，這個(gè)角度對(duì)植物葉子采光、通風(fēng)、光合作用最為有利，這是因?yàn)椋?37.5︰(360—137.5)≈0.618;……
【課后作業(yè)】班級(jí)姓名學(xué)號(hào)
(A)1、已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC>BC)，AC是線段______與線段______的比例中項(xiàng)，如果AB=10cm，那么AC≈_______cm，BC≈_________cm.
(A)2、已知M、N是線段AB上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn).若AB=1cm，則MN≈_______cm.
(A)3、如果是a與c的比例中項(xiàng)，且a=1，那么c=.
(A)4、如果點(diǎn)C在線段AB上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB=;如果點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB=.
(B)5、在菱形ABCD中，∠BAD=600，則BD:AC=.
(A)6、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC的平分線，
CE是∠ACB的平分線，BD、CE相交于點(diǎn)O.圖中的黃金三角形有()
A、3個(gè)B、4個(gè)C、5個(gè)D、6個(gè)
(A)7、東方明珠塔高468m,上球體點(diǎn)A是塔身的黃金分割點(diǎn).點(diǎn)A到塔底部的距離約是多少米(精確到0.1m)?
(A)8、根據(jù)人的審美觀點(diǎn)，當(dāng)人的下肢長(zhǎng)與身高之比為0.618時(shí)，能使人看起來(lái)感到勻稱，某成年女士身高為166cm，下肢長(zhǎng)為101cm，持上述觀點(diǎn),她所選的高跟鞋的最佳高度約為多少(精確到0.1cm)?
(A)9、如圖，在黃金矩形ABCD中，(1)作正方形AEFD，使頂點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上;
(2)分別量出矩形BCFE的邊BE、BC的長(zhǎng)度，它們的比值是否約等于0.618?
(B)10、如圖，“黃金矩形”ABCD(即≈0.618)中，依次畫(huà)正方形①、②、③、④.
(1)觀察矩形⑤，你認(rèn)為它也是一個(gè)黃金矩形嗎?
(2)設(shè)BC=1(單位長(zhǎng)度)，通過(guò)計(jì)算，能否驗(yàn)證你的判斷?
(A)11、如圖，AB:AC=BD:BC,且AB=6cm，AC=4cm,BC=5cm,求BD、DC的長(zhǎng).
(A)12、如圖，∠DCE=900,甲、乙兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，分別沿CD、CE的方向前進(jìn)，若甲每秒鐘前進(jìn)12cm,乙每秒鐘前進(jìn)9cm，經(jīng)過(guò)ts后,甲、乙分別到達(dá)A、B處.
(1)求的值;(2)t為何值時(shí),AB=60cm?
(B)13、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H在BA延長(zhǎng)線上，且EH=ED，四邊形AFGH是正方形.(1)求AF、DF的長(zhǎng);(2)點(diǎn)F是AD的黃金分割點(diǎn)嗎?為什么?
(B)14、給定一條線段AB，如何找到它的黃金分割點(diǎn)C呢?
(1)作BD⊥AB，且使BD=AB;(2)連接AD，以D為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)E;(3)以A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)C.點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn).
如果有興趣的話，你可以和同學(xué)們探索一下，點(diǎn)C為什么是線段AB的黃金分割點(diǎn)?
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